这节课我们一起来复习一下直角坐标系下二乘积算的计算。我们先来看一下二乘积三的表达形式，是这个样子的。其中这个大地称为积分区域。FXY被积函数。XY积分变量。这个整体被积表达式。第西格玛称之为面积元素。那么它的几何意义就是以这个积分区域大地为底面积，然后以被积函数C等于FXY为取顶柱体的这一个体积。图形表达形式就这样子的。积分区域是大地顶就是FXY。在直角坐标系下，我们都是用平行于坐标。

图的直线网来划分积分区域的。如图所示。所以说这个时候这个面积元素DC的嘛，就会写成DX乘以个D。所以说这个二乘积分在直角坐标系下就可以这样的来表示，就是把BC伽玛用DX乘以D来表示。接下来我们再看二重积分的性质。我们假设两个函数在一个PE区域大地上是连续的，然后a表示这个B区域大地的面积。那么就有，如果说被积函数恒等于一，那么显然这个二重积分的数值就等于这个B区域的。面积大a，那这要注意左侧表示体积，右侧表示面积，表示的是它们数值相等，因为它的高。

21。第二个线性性质。也就是说，对于两个函数和的。二乘积分就等于两个函数二乘积分的和。第三个，一个常数乘以一个函数的二重积分就等于这个常数乘以这个函数的二重积分。第三个区域可加性，如果说这个区域可以分成两部分，这两部分是没有交集的。那么就有。在整个区域的二乘积分就等于每个区域的二乘积翻的和。第四个。如果说这个被积函数是恒大于零的。那么显然这个二次基判的结果也是大于零零的。那么可以有这两个推论，第一个，如果说FXY小于等于G。

对不对。那么二乘计算的数值也是满足这个结论的。第二个就是说。这个二重积分结果的绝对值是小于等于这个函数绝对值的二重积分的。第五个性质。估值性质。就是说我们假设这个函数啊，在这个有界闭区域上，最大值是大M，最小值是小M。然后这个B区的面积是大a，那么显然就有这个二乘积三的这个结果是在小M大a和大M乘以大a之间的。第六个终值定理，也是股值性质的进一步深入。就是说这个二重积分这个数值啊，一定等于某一点的值乘以这个大a，其中这个点的话一定是。

在这个B区域大地上。这个我们又称之为二重基范的中值定理。下面我们看一下直角坐标系下二乘积算的计算。首先有个口诀叫一图二代三计算，一图表示第一步，先到某一个坐标轴的投影。二代表示第二步，我代入上下线。三计算就是第三步对这个二重积分进行计算。那么第一步一图的话分两种，一个呢是图用的F轴，一个呢是图用的Y轴。如果说图用的X轴，那么它这个二重积分呀，就可以写成这样一个形式，其中先写X的积分，那么上下线是两个常数，在写Y的积分，那么它的上下线啊，就是Y关于X函数这种形式。

要说同一的Y轴，那么先写Y的积分，它的上下线也是两个常数，再写X积分，那么这个时候啊，它的上下线是X关于Y的函数。那么这两种表达形式啊，我们称之为二次积分。那我们选择先图形X轴还是先图形Y轴，它的原则有两条。第一个呢，要积分容易。第二个呢，是我尽量少翻块或者不翻块。我们先看先同X轴。那么前面提到它的积分区域X左右边界是两个常数，Y的上下边界是关于X的函数。那么以图形来表达就是这样一种形式。那我们在写它的二次积三的时候。先写图形的X的计算形式，那么上下线是从。

a到B。接下来我们再写关于Y的积分，那就先打一条平行Y的一条直线，确定它的下线和上线，下限是Y等于Y1X，上线Y等负2Y2X。所以说这个时候几番表达形式就是这样子的。这样的话，我们就写好了投影到X轴的这个二次积分形式。接下来我们再来看先推动Y轴的话，这个二重积三的表达形式。那么积分区域啊，Y的话，上下边界是两个常数，X的左右边界是关于Y的两个函数。那么图形表达就是这样一种形式。那么这时候这个二乘积三呀，我们就要先写麦的积分了，那么上下线是C到D。

接下来我们要写。X方向的积分，这个时候我们就平行X轴做一条直线来确定它的上下线，那这个是它的下限，这个呢是它的上限。所以说这部分的积分形式是这样的，最后我们就可以确定了这个图用到Y轴的这个二次积分的形式。下面我们看几道练习题，先看第一个例题，让大家将这个二乘积三呀。转化为一个二次积分，其中这个积分区域是由这四条直线所围成。那么首先呀。我们先画积分区域。这是Y等于X。Y等于X减二。Y等于二。Y4。那么灰色区域啊，就是积分区域。

那如果说我们这个基盘区域土涌到外轴。那么显然。Y轴的话，上下线分别是二四。所以说我们可以写积分区域Y是大于等于二，小于等于四，接下来再写X的积分的上上线，那我们可以先这样来写，左侧是关于Y的函数，右侧呢也是关于Y的函数。那我们利用传输传输法就沿着平叙这个X轴来打一条线，那么这个就是。下线这个。就是上限，那我们要写成Y的函数，所以说左侧就是。Y右侧呢，Y等于X减二，就是说X等于Y加二，所以说是Y加二。所以说这个二重基翻呀，我们讲化成二次基三的话，就是先写。Y的基盘形式从二到4D。再写。

X积分形式从Y到Y加2FXY超过来DX，这样就结束了。我们看第二个方法，如果说我们同用的X轴。那首先我们要注意观察同的X轴的话，我们显然要分区域了。一个是蓝色区域，一个是绿色区域。我们假设蓝色区域为第一。绿色区域为第二。那么显然第一和第二的并举就是整个的积分区域。另外我们可以看到这三个分节减分别是246。我们看第一这个区域，那我们通用X轴，先写X这个积分上下线，那么就是从二到四。接下来我们再写Y的积分上下线。接下来就沿着平行Y轴打一条直线，那么这个就是下线。

这个。就是上限，那这是Y的话，一定要写关于F函数，那么下限就是F。是一个。二上线呢是这条斜线，那么就是Y等于X。X。同理，我们在写第二的这个积分区域，那么首先在X方向投影，这个积分区域是四到六。接下来我们在西外的计算区域。那么哪条线？这个。下线这个。上下下下显然是Y等于X减二，所以写X减二，那么上下呢，显然就是这条水平的了，那就表示Y等于四，所以说就是四。这样的话，整个计算结果可以用这个区域可加性可以写成这种形式。那么每一个我们把积分区域给带入过来以后，就可以写成。

这样的形式。接下来我们看第二个例子。我们已知这个二乘积班是这样一种形式。然后这个积分区域啊，是由抛物线y.X平方和x.Y方所围成的平面B区域。那么首先我们先画这个积分区域。X等于Y的平方是这样一条抛物线。Y点的平方是这样一条抛物线，那么它的积分区域是灰色区域。我们先求两个交点。先可以得到是零零和一一。那么接下来我们可以看到这个题是既可以图等Y轴，也可以图X轴。M对称呢都是可以的，那我们就直接图用到X轴。你也可以看到X方向的积分。

方向线是零到一。接下来再看Y方向的积分上下线。那么就沿着平行Y轴在积分区域内打一条直线。这个是下限，这个是上限，由于是Y的上象限，所以说要写成关于X的函数形式，那么下限前就是X平方，那么上下呢，就是Y方等于X，就是Y等于根号X。写根号X。那么接下来我们就可以转换成二次基盘的话，上限线分别就是这样一个形式，接下来我们对它来进行计算。那么计算的时候啊。我们先。计算右面的，在计算左面的，也就是从用到左的顺序来计算，那右面的话我们对Y进行积分，那就把X看成一个常数。那显然这部分计算结果就是X平方。乘以一个。Y再加上。

1/2。带的平方。接下来我们再把上下线给带入。那显然就是这样一个结果了。这部分带入上下限就是它，这部分带入上下线就是它，接下来我们要先对这个整个的括号里面这一部分先进行化简，化简完了以后再进行基分基拍完了以后再带入上下线。所以我就可以得到这样一个结果。我们再看第三个例子。我们假设这个二重积分。它的积分区域啊，是由抛物线Y方等于X以及Y等于X减二所围成的。那么首先我们要画这个积分区域。Y方等于X。Y等于X减二。那么这个积分区。

对啊，就是阴影部分。那这个题也是既可以图用的X轴，又可以图的Y轴，那这要注意观察，我们可以考虑一下是应该图用的X还是应该图用的Y呢？我们来看一下，假如说如果说图用的X轴，那显示积分区域要与这个地方白电线分两部分了。这一部分和这一部分，那显然是不太方便的，如果说我们投影Y轴呢，显然我们只需要一个基片表达形式就可以了，就是说我们要投影到麦种。那首先我们要求交点。这个交点分别是四二。一一。那我们头等Y轴。显然这时候我们可以看到这个Y方向的这个基盘上下限是负一到二。可以直接写。

接下来我们再写。沿着F上的积分，这个被积函数超过来，我们再看它的。积分上下线。打条线。那显然这个呢，是。下线这个呢是下线，因是对X积分，所以说要写成X等于Y的一个形式，所以说这个下线就是Y方。上下呢，Y等于X减二，就是X等于一个Y加二，所以说写Y加二。最后我们就对它来进行积分，按照从与到左的顺序，先求这一部分，再求这一部分。那么这部分来积分的话，把Y看成一个常数，那显然就是它，最后我们把它再进行整理化简，再来积分，最后。就得的结果是45/8。我们再看第四个例子，让大家来改变这个积分。

分次序，这又是另外一类题型，前面这类题型就是直接让你求这个二重积分，这个呢是让你改变积分次序。那我们改变机变次序啊，这样子来做。首先第一步啊，先把这个积分区域啊。用图形来表示出来。那表示之前呀，我们先这样来写。我们可以看到这个表示说图用到X轴，所以说X方向的计算区域是从零到一，那么Y方向的计算区域是从零到一减X，接下来对这不等式画图即可。X方向零到一就是这个地方。Y是大等于等于小等于一减X，这就表示Y等于一减X，就这条蓝线。所以说这个绿色区域就是这个积分区域，那接下来我们改变积分次序就方便了，我们被积函数不要动，直接投影到Y轴就可以了。那么它的Y轴。我们就沿着。

平行X方向打条线，这是找X积分双向线。那就可以直接写结果了，Y方向的基盘上下限是零到一，那X方向的基盘上下下呢？这个和这个，那么这个就表示啊，X等于零。下限上限呢，就是Y等于一减X，也就是说X等于一减Y，所以说把它放上去，这样就结束了。我们再看第五个例子。让大家来对这个。二重积分。交换他的几天次序？那这个肌酐呢，是分两部分。所以说每一部分都要交换次序，那首先第一步啊，要画每一个二重积分的。计算区域。那首先这部分显然是同一的。

X轴就是从零到一，Y轴呢是从零到这一部分。我们画图。X方向零到一是这一部分。那么Y大于零零小于等于根号2X减N平方这个地方呢，我们平方以后就表示这个蓝色这块圆，那么我们综合的话。显然就是绿色这部分区域了。同理，我们可以再画。第二周部分的计算区域。也是图X轴，那么X取值上下限是一到2Y的话是这样一部分。那么图形表示。蓝色这部分区域。那相当于说整个的这个B例函数是相同的，只是说一部分是在第一区的。积分一部分呢，是第二部分的区域的积分。

弦表巧合。如果是我，把他们的命题看成大堤。那么这个原来是同域的X轴。那现在要求我们把这个积分呀。投影到Y轴。那显然可以看到这个Y的上上线是从零到一。那个F方向的积分上限线是多少呢？那么就平行X轴来打一条线，这个是。下线这个。是上限，由于是F是范围，所以说要写成Y的表达形式，所以说左边这部分就是这一块。就是Y等于这样一个形式，Y写成X关于Y的函数，那么首先平方，然后再移项开开号，就得到这样一个表达形式。

所以说下山呀，就是。那么同理。Y等于二减xxy来表示，就是可以写成这样一个形式，就是把它放到右侧。上线就是它。这样的话，原来这个表达形式。就可以转化成。这样一个形式。接下来我们再看这道练习题目，让大家来交换这个的。基本次序。首先我们要画它的积分区域。那么这个积一般下线Y等根号二加的平方的图像是这样一个。那么这个机翻上下的函数图像是这样子的。那我们可以不难算出来这三个点的坐标值啊。分别是。

二根号二还有一根号三。也就是说红色这部分区域就是这个积分区域，那么原来这个积分是投影到X轴，那现在我们改变次序，就是要投影到Y轴。那么我们显然可以看到图影的概率的话，那么就要分上面这部分和下面这部分。那么下面这部分我可以看到。这个XY方向的积分区域啊，是干二到根号三，后面这部分我们抄过来，上下线先空着。那么再加上呀。上面这部看的。积分，那么Y的积分上下限显然是干三到二，那后面这部分抄过来，这个F方积分上下线先空着。那么显然对这个。下面这部分。这个F方向呢。上下线我们打一条直线。

平行X轴，那么这个就是下线，那显然这个下线不就是X等于零吗？所以说是零上线呢，所以这个呢，就是Y等于根号二加X平方。那么你整理一下，就是X等于一个根号Y方减二，所以说就写它。那么同理。对上线的话，对上面这一部分，求它的上下线的话，我们就是平行再轴打下直线这个下线。显然也是零上线的。这个点，比如说这个函数嘛，我们转化成。X函数。那么我们显然就是。他了。好，最后我们再来看一下利用这个对称性来简化二乘计算的计算。首先有这样的结论，如果说这个积分区域关于Y轴对称。那么就有，如果这个被积函数关于F是。

一函数，那么结果为零。如果说这个被积函数关于X是一个偶函数，那么就可以写成两倍的关系，那因为这个积分区域是关于Y轴对称，那就是左右这关系就说可以取。右半区的两倍。如果这个计算区域啊关于X对称，也就是说这个计算区域是上下这种形式。那么被积函数关于Y是奇函数，结果为零。如果说被积函数啊，关于Y是偶函数，那用积分区域上下的形式，所以说可以写成上面这区域的两倍。那D要诀相当于说你缺谁找谁，比如说我说它关于X轴对称缺Y，那就看Y的奇偶性，就说这个BG函数啊，如果说关于Y是奇函数，直接就是零了，同理。如果说这个积分。

区域是关于Y轴对称。那么我们求X，就可以看被积函数关于X奇偶性。我们先看这样一道例题，我们已知啊，这个平面区域大地是这样子。大第一呢是这样的，然后让大家来判断一下这一个二乘积班在。大地上的二乘积班，看一下它是哪个选项。那首先我们要画这个大地的这个积分区域了。那显然X大零，负a小于0a是这么一个形式，那Y大等于X小0a这么形式就说这个单角区域就表示大D。另外我们再注意第一页是哪部分，前面就这一部分吗？那么另外我们要去观察，我们要考虑这个。

区域的对称性。那如果说我们沿着蓝的这个虚线打铁线，你可以看到。这四个区域的话，第一和第二是关于Y轴对称的，第三和第四是关于S轴对称。那么我们就可以利用这个奇偶特性来进行分析了。那首先这个在整个大地区上，这个二重基三呀。就可以写成。第一并第二这个区域的这个二乘积三，再加上第三并第四这个区的二乘积三，那么第一并第二这个区二乘积三又是加法，所以说可以拆出来这一部分和这一部分同理，第三病第四这个区的二乘积班这个加法是可以拆除这部分和这部分，那我们看第一并第二是关于Y轴对称，那我们看这个BG函数关于S9性。那么显然。

这个呀，是关于X是一个奇函数，所以说零。同理，这个D3和第四这个区域是关于X不对称，所以说我们要看这个BG函数关于Y的G5性了，G关于Y是奇函数，所以是零。这呢，关于Y是个奇函数，所以说也是个零，所以说最后只剩下这一部分，那么这一部分显然是。被积区域啊，它是关于Y轴对称的，哎，这个地方呢，关于X又是一个偶函数。作者就可以写成啊。右边这半区域的两倍的关系，最后就可以写成这样一种形式。我们再来看最后一道例题。让大家来求这样一个二重积分，其中这个积翻区域啊，是这样一种形式。

那么首先我们要先画这个二重积分的积分区域，显然就是如图所示。那这个图我们可以看到。这个积分区域特别巧，既关于X的对称，又关于Y轴对称。另外呢，被积函数也特别的巧，它既是X偶函数，又是Y的偶函数。所以说这个。二重积分的结果就可以直接写成第一部分第一区域积算的四倍。他就说。这个积分结果就可以写成四倍的第一区域，那么第一区域X方向的积分上限线显示从零到一了，Y方向的积分上限线显示从零到F加Y等于一，就是Y等于减X，所以说就是一减X这样一个结果。在这儿为什么说它是四维关系呢？因为。

这样呢，我们先考虑这个关于X轴的对称。那就是说上面这部分区域的计算结果和下面这分区块相等的，就是说这里可以写成两倍的上面这部分的计算结果。那与上面这部分的积分结果，它又是关于Y轴对称的，那这个都是偶函数，相当于说上面这部分呀。那整个的这一部分又是这一部分的两倍，所以说最终就是这一部分是的四倍。好了，这个我们直接求它的结果。那我们曾用道德的顺序先对它来进行求积分，那就可以写成这个结果，最后再对这个化简，再来积分，就可以得到这样一个结果。好了，以上是这节课的内容。