那下面一个自然的问题，就是我们刚刚也提到，那既然说一个向量组给定我们要有了极大无关组的概念，那自然就要问了，你给我一个降量组怎么样来找出它的几大无关组？我们来看一个例子，对于某些比较简单的，低维的或者个数比较少的情况，我们可以根据观察或者根据一些简单的计算得到。那么看下面的一个例子，是有一个向量组，所含的三个向量，a、阿法1、阿法2、阿法3，让我们来求向量组阿尔法 123 的一个几大无关组。

好了，要找其他无关组，我们就来找部分组了。那好，首先我找一个线性无关的向量阿尔法1，那么它是不是极大无关组呢？就要看如果再添进来一个向量是不是就已经相关了？那很明显，我们看到阿尔法 1 和阿尔法 2 是不成比例的。我们讲过两个向量要相关，当且仅当对应分量成比例，那我们看到阿尔法 1 与阿尔法 2 不成比例，因此阿尔法1、阿法 2 是线性无关的，那么它是不是就极大了？再继续，那我们再添进去阿尔法 3 来看看是不是就相关或者无关。那么容易看出阿尔法 3 就应该是 1/ 4 的阿尔法 1 加阿尔法2。可见，如果我再添进去阿尔法3，那么就构成了一个相关的一个向量组。因此阿尔法 1 与阿尔法 2 首先我们看出它无关，并且阿尔法 3 可由他们先行表出。当然阿尔法 1 和阿尔法 2 本身可以由它进表出，所以由极大无关组的这个定义，我们得到阿尔法1、阿尔法 R2 这个部分组就构成了向量组，阿尔法1、阿法2、阿法 3 的一个几大五关组。

当然我们这里只是给出了其中的一个极大无关好了，那么对于这样一些比较简单的或者维数比较少，或者含向量个数比较少的这样一些向量，我们可以通过简单的一些一些计算和一些观察就可以得到它的极大无关。所，那么一般情况下，如果所含向量个数也比较多，或者维数比较多，我们怎么给出一个向量组的几大无关组？我们说我们可以一般情况下出等行变换的方法，我们可以给出一个向量组的求法。为了给出这个方法，我们先来看初等行变换的一个重要性质，设矩阵a，亲，CHILDREN，行变换，化为矩阵b，则，有以下两个结论，第一， a 和 b 的对应。列向量组。

具有相同的线性关系。

好。第二， a 与 b 的行向量组，等价。下面我们来简单的解释并证明一下这个结果。我们先来解释一下，说矩阵 a 经过初等行变换化为矩阵b，那么 a 与 b 对应的列向量组具有相同的线性组合关系。什么叫做相同的线性组合关系？就是说如果你 a 取 123 列，那么 b 也取 123 列，这就要对应向量组了。那么所谓相同的线性组合关系，就是说 a 的 123 列具有什么样的线性组合关系？ b 的 123 列也具有完全相同的线性组合关系。就这个意思，具体的来说，我们在证明中我们再来解释一下。我现在不妨对 a 和 b 给它进行列分块。我记 a 就等于阿尔法 1 阿尔法 2 阿尔法m，那么每一个向量都是 n 为向量，从而 a 就是一个 n 乘 m 的一个矩阵了。好， b 列分块，我们给它记为贝塔一 Beta 2 Beta m。

现在 a 经过初等行变换，初等行变换化为矩阵b。根据我们说过行变换与矩阵的关系，我们知道 a 经过初等行变换化为b，也就是说什么呢？也就是说存在一个可逆的矩阵 p 使得， P A 等于矩阵b，那么我们再把 a 和 b 的这个具体的形式带入，我们就得到了p。阿尔法一，阿尔法 m 就等于 beta 1 Beta。根据分块矩阵的乘法，我们就得到了如下的 m 格关系是p，阿尔法 g 就等于 data g。

现在我们来看第一个结论，所谓相同的组合关系，假如说我取，我们取 a 的主扇 r 个列，我取成 I1 alpha i r，那么它们之间具有，如下的一个线性关系，就是 K1 alpha I1 加上 K2 alpha I2， k r alpha i r。

好，我们说假如 a 的这样几个向量列，向量之间具有这样的性行关系，那么所谓对应的列向量组有相同的组合关系是什么意思？也就是说，我们要证明 b 的对应的列向量组就是 beta I1， beta I2 beta，那么我们就要证明beta， I1 贝塔 I2 贝塔 i r 具有完全相同的组合关系。换句话说，我们要证明它具有，具有相同的组合关系。意思就是说，如果 a 的这些向量组之间有这样的组合关系，那么 b 的对应向量组之间也有，也要有同样的线性组合关系，反之亦然。反之，如果 b 的向量组有这样的组合关系，那么同样对 a 的相应向量组也要成立，那么我们就来看一下。

好，我们设阿尔法 1 到阿尔法 r 有这样的组合关系，那么我们根据阿尔法，我要从阿尔法的关系证明贝塔的关系。当然我要看阿尔法 i 和贝塔 i 之间的关系了。前面我们讲了阿尔法和贝塔之间有这样子的一个关系，组成一个可逆矩阵p，那么我们就知道了，我给这个式子的两边同时组成可逆矩阵p，那么我们就得到 K1 提出去K1P，阿尔法 I1 加 K2 p r 法 i r，加 k r， p Alpha i r。

好了，那么我们来看 p alpha I1 不就是 beta I1 吗？ p alpha I2 不就是 beta 二吗？以此类推，也就是我们得到了这个组合关系，所以如果阿尔法的这个部分组之间有这样的组合关系，那么这个 b 的对应的列向量组之间也有相同的组合关系。

反之，反之，如果贝塔I1， I2 到 I2 有这样的组合关系的话，那么它也就是上面的把贝塔 i 界，把贝塔界和阿尔法界的关系带入，也就是这个式子成立，从而两边同时佐成 p 的逆矩阵就得到了上面的式子成立。因此，也就是说，我们可以把它结合起来写到一起，也就是说，因为那么这个关系是成立，因为 p 可逆，由于 p 可逆，他就等价于这样一个关系成立，也就等价于。从而我们就证明了， alpha i e alpha i r 这个向量组与 b 的对应向量组 beta i e 的 data IR，有完全相同的线性组合关系。

好了，那么有相同的组合关系，那么有没有相同的相关无关性呢？当然也就具有相同的线性相关或者线性无关性了。好了，再来看第二个结论，这是对于列向量组，我们做了一个这样的一个结果。那么对于航向量组，看看如果 a 进出等行变换变成b，那么它的航向量组之间会有什么关系？第二个，我们知道 a 经过初等行变换化成b，也就是说，存在可逆症，p， b 就等于 p a 这个式子说明什么？那么这是一个矩阵乘积的一个表达式，刚刚我们讲过了对这种矩阵乘积的表达式，我们可以对它做出行向量组与列向量组的解释， its 线性表出的一个解释，那么 b 等于PA。

根据刚刚我们讲过的，那说明什么？说明 b 的这个航向量组，可由 a 的，航向量组，线性表出。同理，既然 b 可逆，我们两边同时左乘 p 的逆，既然这个 p 是可逆的，我们左乘 p 逆，我们就得到了a，就等于p， e 再乘以b。完全类似这个式子就说明什么？说明 a 的行向量组可由 b 的航向量组线性表出，那从而 a 与 b 的航向量组就等价，可相互表出，因此他们就是尴尬的。

简单的来说什么呢？这个结论就告诉我们，矩阵的初等行变换不会改变列向量组的线性组合关系。矩阵的初等行变换不会改变列向量组的组合关系，那同理完全类似也可以证明什么呢？如果 a 经过出的裂变换的话，那么对应的行向量组应该具有相同的线性组合关系，并且 a 与 b 的列向量组就等价好了。正是根据这个重要的结果，我们可以给出用初等行变换的方法，求一个向量组极大无关组的一种方法。

好了，我们来看一个具体的例子，有一个向量组，阿尔法 1 就是 1220 阿尔法2， 2440 阿尔法 3 就等于， 1031 阿法四。我们给出一个向量组，现在来求， Alpha 1234 这个向量组的一个极大五关组，来解。好了。首先我们继，由阿尔法1、阿尔法 2 到阿尔法 4 所构成的这个矩阵为a，那么具体的就是，好，我们现在经过初等，行变换，我们给它化为阶梯形，直到最简型。来看一下，我们第一行的- 2 倍加，分别加到第2和第三行就可以得到，那么在这个基础上我们再来做行出等变换到什么时候为止，到阶梯形或者到最简型，那么我们直接在这个地方来写，直接在这个地方来写，那我用这个 1/ 2 乘以第2行，然后再加到第3和第4行就可到这里等于负一二加下来下面都是0。

好，那么这里我们就得到了一个什么呢？得到了一个行阶梯形，那如果进一步我们再做出等行变换，把它化成最简型的话，也就是我要把首飞 0 元所在列的其余元素化为 0 的话，我们把第二行加到第一行上去1202，然后用- 1 来乘以第二行 001- 2000，我们就得到了矩阵 a 的行最简型。糖最简型。下面我们说从这个矩阵中我们就可以得到几大无关组以及其余向量的线性表示。

那么我们来看我在这个行最简刑中，我如果把第一列的这个向量我们记为阿尔法一撇，同理第二列记为阿尔法 2 一撇三一撇四一撇。那么我们刚刚这个定理告诉我们，向量组 a 的列向量组，矩阵 a 的列向量组阿尔法 1234 和这个矩阵的列向量组阿尔法一撇二一撇到阿尔法斯一撇。这两个列向量组具有完全相同的组合关系，那么我们只需要看看在这个向量组中，我们来看看我取阿尔法一撇和阿尔法三一撇具体是怎么来取。

我取行最简刑中首飞 0 元所在的列，那么容易看出，阿尔法 e 撇和阿尔法 3 一撇，成不成比例，所以线性无关，并且，阿尔法 2 一撇，可由阿尔法 e 撇和 3E 撇先行表出，并且我们可以直接看出阿尔法 2E 撇所在列的非零元恰好是表出的系数，所以就是 2 倍的阿尔法 e 撇再加上 0 倍的阿尔法 31 撇，那么阿尔法 41 撇它就等于 2 倍的阿尔法一撇加上- 2 倍的阿尔法 31 撇。

于是我们看出阿尔法 1 一撇 3 一撇线性无关，且可以表示出这个阿尔法 2 一撇和阿尔法 4 一撇，那么根据定理由刚刚讲过的定理2，我们就知道了阿尔法1、阿尔法 3 必然是线性无关的，并且有完全相同的组合关系的话，那么就阿尔法 2 也就等于 2 倍的阿尔法1，阿尔法 4 就等于二倍的阿尔法 1 减去二倍的阿尔法3，于是。

有几大五关组的定义。我们知道阿尔法1、阿尔法 3 既为所求的，一个几大五关组，几大无关组，并且我们用该几大无关组表示出了其余的向量。好了，那么把这个方法小结一下，我们就得到了用初等行变换，求极大无关组的方法。第一步，第一步将所给的列向量为这个向量组为列向量构成矩阵，就是说用所给的向量，构成一个矩阵，或者说g，由所给的列向量构成为这个液向量组构成的矩阵为a，这是第一步，那么第二步我们做什么呢？对 a 进行初等行变换，切记，这个地方如果是给的列向量，那么我们只能进行变换，因为我们证明了行初等变换不改变列向量组的组合关系。我们得到一个b，那么这里我们可以得到它的阶梯形，行阶梯形或者行最简型。

第二步，第三步，写出几大无关组，怎么写，怎么写？就是在行阶梯形或者行最简刑中首飞 0 元所在的列构成的那个部分组，就是原来向量组的几大无关组，请大家关注好了，行阶梯形或者行最简刑中首飞 0 元所在的列就是原来向量组的一个几大无关组，那么有的人说了，好了，你给的是列向量组列向量，那当然我们直接来这样做。那如果是航向量怎么办呢？如果所给的是航向量先怎么样？先转制就可以了，这是一种方法。

第二点要说明的是，这里我们只是给出来了求极大无关组的一种方法。好了，下面我们再来解释这个行阶梯形和最简型有什么区别。事实上在这里我们可以看出，如果我只是要求出它的几大五官组，不需要表示出其余向量的话，从这里我们就可以了，我只需要取出首非 0 元所在列的这个向量就足够了。那么但是它的行最简型有个什么好处？行最简型的这个优点就在于，如果我化成行最简型的话，我找到几大无关组以后，其余向量用几大无关组表示的时候，那个系数恰好就是这里的所在列的这些数。也就是说这里的 2 恰好是用阿尔法一撇 2 这个 31 撇表示阿尔法 2 一撇时的系数，也就是系数恰好是谁是20。那么同理，阿尔法 4E 撇表示的时候，它恰好就是 2 倍的阿尔法一撇加上- 2 倍的阿尔法 3 一撇，也就是说在行最简型中，你更易于看出用极大无关组所求极大无关组表示其余向量时的组合系数。

好了，那么这是我们介绍了这个用初等行变换的方法，求一个向量组的几大无关组。下面我们再来看这一节的第三个内容，前面我们也讲到说给一个向量组以后，它的几大五官组不唯一，一般的来说不唯一，但是相互等价，从而既然等价，从而它每个极大无关组所含向量的个数是唯一确定的，这个个数我们就称为该向量组的质。所以这是我们这一节的第三个问题。

N 那么定义一个向量组的质是什么呢？就是向量组的几大无关组所含向量的个数。 t 的任意一个极大无关组，所含向量的个数，就称为向量主 t 的质。怎么来记呢？就跟矩阵的值类似，就 r t。好了，那很多人说我们说只有 0 向量的向量组没有极大无关组怎么办？于是我们就规定，我们就规定一只有 0 向量构成的这个 0 向量组， the 智为树林好，好了，那么大家想想，如果这个向量组是线性无关的，那么它的质是什么呢？就是它的所含向量的个数，所以我们可以得到一个线性无关的向量组，它的质就等于它所含向量的个数。

所以把这个结论写出来，也就是我们可以得到一个向量组t，m，那么这个向量组线性相关，线性相关，当且紧，当什么呢？当且紧当，该向量组的几大五关组中所含向量的个数肯定要比它小，所以也就是说质严格的小于m。那如果这个向量组，线性无关，那我们说了他的无关组就是他自己，极大，无关组就是他自己，所以他就等于m，而如果质等于m，就说明他的极大无关组中含有 m 个向量，那当然只能是他自己，所以这也是一个等价关系。那这个是我们经常用到的一个结论，给一个向量组，那么我们来判断它是相关无关，也可以从这个角度来看，它与所含向量个数的大小关系，如果它等于所含向量的个数，那么它就是无关的一个少 you should 相关的。好了，这个概念比较清楚了，那么下面我们来看医生的治文结理论的信息来看，第一个信，说如果向量组 T1 可由向量组 T2 线性表出，那么 T1 的质不超过 T2 的质。

好了，简单的来证明一下，我们设 T1 和 T2 是已知的了，那我取 T1 的一个极大无关组，阿尔法 1 的阿尔法m，它是 T1 的一个极大无关组，取贝塔一到贝塔 n 为 T2 的一个极大无关组。

好了，那既然 T1 与这个阿尔法 1 到阿尔法 m 等价， T2 与贝塔 1 到贝塔 n 等价， T1 可由 T2 表出，那说明什么？说明阿尔法 1 有条件，阿尔法 1 阿尔法 m 可由 beta 1 到 beta n 线性表出。那根据我们前面讲过的一个结论，如果一个向量一个线性无关的向量组可由另外一个向量组线性表出，那么这个无关的向量组所含向量的个数必然不超过另外一个向量组左汉向量的个数n，而 n 恰好就是， T2 的质，那么 m 就是 T1 的值。好了，这是一个简单的性质，就是说 T1 这个向量组合由 T2 线性表出，那么 T1 的质不超过 T2 的质。由这个定理我可以得到一个重要的推论，重要的一个推论，等价的向量组，那如果能够相互表出，那么它们的质就必然是相等的，等价向量组的质必然是相等的。好，下面我们来看第二个性质，第二个性质也就是我们的定理。

4、那么质的概念，我们这一节讲过了向量组的质的一个概念，那么前面我们讲过矩阵质的概念，那么矩阵的质和向量组的质之间会有什么样的关系？我们来看，我如果把一个矩阵看作是由一些行向量或者一些列向量构成的话，那么这些行向量和列向量就有一个向量组的质，而矩阵我们根据最高非临子式，我们也有个矩阵制的定义，那么这个制之间有什么关系？这就是我们制的第二个性质，也就是我们本节的定理。4、就是说矩阵的行制等于它的劣质，等于它的质。那么行制是什么？就是行向量组的质，劣质就是劣向量组的质。所以说，矩阵的行向量组的质，也就是它的行质等于它的劣质，就是劣向量组的质，也就等于矩阵的质。

下面我们来很快的证明一下，我设，矩阵 a 给定，我们设矩阵 a 给定，那么 a 是一个 m 乘 n 的矩阵，它的质我们记为r，它的质我们即为2，那现在我们来定，证明 a 的行向量组的质和列向量组的质都等于r，那么我们只需要证明其中一个就行了。只需要证明其中一个就行。

好了， a 的质等于r。根据矩阵质的定义说明什么？说明在 a 中，在 a 中存在一个非零的 r 阶子式，所以说存在 r 阶非零子式，我们把它记为 d r 好了。那么我们令或者说g，这个非零子是 d r 所在的列，所在的列，那些列向量构成的矩阵为b，设他所在的这个列构成的矩阵为b，那当然了，如果说我们这里的这个 a 都是 n 维的向量，那么这个 b 一定是一个 n 乘以r， 1 个r， m 乘以 1 个 r 的一个。一个矩阵。好了，设 d r 所在的列构成的矩阵为b， r a 为b，那么它是一个 m 乘 r 的矩阵。

现在我们就来证明 b 的这 r 个列就构成了矩阵 a 的列向量组的一个几大五关组。我们要证明它是一个几大五关组，那就是要证明 b 的，首先要证明 b 的 r 个列向量是线性无关的，要证明 b 的 r 个列向量线性无关，我们需要证明 b 的质等于它的列向量组的个数。

那很显然，因为这个 d r 是一个非零的子式，那它是 a 的一个非零子式，它很显然也是 b 的非零子式，所以说明矩阵 b 的质是什么呢？它有一个 r 级非 0 子，是它会不会再有更高阶？不会，因为它的列数就是r，所以矩阵 b 的质是r， b 的质是r，说明 b 的这 r 个列一定是线性无关的，一定是线性无关的。

那么我们为了后面叙述方便，我不妨设这 r 个列，就是我们分别记为贝塔 1 到贝塔r，那么下面我们就来证明这 r 个列就构成 a 的列向量组的一个几大无关组。那好了，首先我们已经证明了它无关，还需要证明什么？还需要证明 a 的其余的向量可由它表出，因为 a 的这些向量当然可由它表出，所以我们只需要证明 a 的其余的向量可由它们表出就可以了。那么为什么可以表出？因为矩阵 a 的质是等于 r 的。那说明什么？说明 a 的这个列向量构成的向量组，它的极大无关组中只能含 r 个向量。换句话说， a 列向量中，你任意取， r 加 1 个或者更多个，列向量构成的向量组必然是什么样的？当然是线性相关的了，因为它极大无关组中只能含 r 个，那么 r 加 1 个以上就一定是相关的了。

向量组，必然是线性相关。那好了，任意 r 加一个向量线性相关，那么你在 b 的这 r 个向量中，任意再找出 a 的一个向量填进去，一定是线性相关的。我们也有一个结论，如果原来的向量组无关，添进来一个相关，那么添进来的向量必然可由原来的向量组唯一线性表出。这就说明你在 b 中任意添加 a 中的任意一个向量，那么都可由 b 的这些向量线性表出。那换句话说， b 的g，我们就说明了 b 的 r 个列向量无关，并且可线性表出 a 的任意向量。所以 b 的 r 个列向量也就是，构成，也就是我们这里的贝塔 1 到贝塔r，构成 a 的列向量组的一个极大无关组。

那么 a 的列向量组的极大无关组是 b 的 r 个列向量，那么 a 的质是多少？就是它所含向量的个数，就是 r 了，所以，所以那么我们说这个列向量组的质也就是r，换句话说， a 的列质就等于 r 了，同理可以证明 a 的行质也是等于 r 的。于是我们就证明了什么矩阵的行制等于它的劣质，等于矩阵的质，简单的也称为对矩阵来说三质相等。从这个证明也看出，我们也给出来了一个向量组求它极大无关组的一种方法。

大家来看，我们用这个向量组构成矩阵，如果它的质是r，那么我们找它的一个最高阶的 r 阶的非临子式，这个 r 阶非灵子式所在的列必然构成了一个几大无关组，当然这也是求几大无关组的一种方法，一个一种思路了，对我们提供了一种思路。好了，那么这一节呢，我们讲了 3 个问题。首先我们讲了向量组的，等价的概念以及简单的性质，然后我们介绍了向量组的极大无关组，讲了它的概念性质以及如何求极大无关组。在此基础上我们介绍了矩阵，介绍了这个向量组的一种重要的一个特征，就是向量组的质，讲了质的定义，它的简单性质以及矩阵质的这个计算方法，就这个质的计算方法。好了，这一节的内容就这么。