前面我们通过对二维向量、三维向量加以推广，我们引入了 n 维向量的概念，并且我们定义了 n 维向量的加法和数乘。讨论了 n 维向量若干个 n 维向量放在一起时，一个 n 维向量组的线性相关以及线性无关性。在此基础上，今天我们来学习向量空间。

首先我们来看 n 维向量空间的概念。

设 v 是一个由 n 维向量构成的一个集合。如果， v 是，如果 v 中的向量对，满足以下的两个条件，第一，对任意的阿尔法贝塔属于v，则阿尔法贝塔的和仍然属于v。第二，对任意的阿尔法属于v，以及任意的实数k， k 与 Alpha 的数乘属于v，则称，这个向量级和v，为一个 n 维向量构成的向量空间。

那么简单的来说，我们说如果阿尔法贝塔属于v，阿尔法与贝塔的和属于v，那么我们就称v。对于向量的加法满足封闭性，或者简单称为 v 对向量加法封闭。所以简单的来说，一个向量空间就是对加法和数成封闭的向量集合。大家来看这样一个集合，我取平面上的向量构成了一个集合，这些向量满足 a 大于等于0， b 大于等于0，那大家看这个集合能不能构成一个向量空间。

很显然，我任意取阿尔法属于v，如果我取 k 等于-1，那么 k 阿尔法就不属于v，所以这样子的集合并不构成向量空间，因此我们说向量空间就是对加法和数乘封闭的向量集合，并且的确存在许多集合并不满足空间的概念这个要求，也就是说并不成为向量空间。好了，那么由这个定义我们可以容易的看出，如果 v 是一个向量空间，我们简单的来写，那么必然有零向量，一定是属于 v 的。换句话说，任何一个向量空间 b 含 0 向量，为什么呢？那当然了，我任意取一个阿尔法属于v，如果我取 k 等于0，那么 0 乘阿尔法，那这是 0 向量了，自然要属于v。

由对数乘的封闭性，我们得到向量空间，任何一个向量空间必然含有 0 向量，那么下面我们来看几个特殊的向量空间。首先，如果我这个向量集合中只含有 0 向量，那么很容易验证了这个向量集合对于向量的加法和数成封闭，因此它构成一个向量空间，我们把这样的空间就称为 0 空间。再来看，我取所有的 n 为 10 向量的集合，那不难验证，这样的向量集合对于向量的加法和数乘都是封闭的，所以它也形成一个空间，这就是我们经常用到的R，N、 n 维的时向量空间。再来看，那么我设有一组向量，一组 n 维向量，阿尔法1，阿尔法2，阿尔法 n 给d。我们来看这样子的一个向量集合，由阿尔法 1 到阿尔法 n 的所有线性组合构成的向量集合，也是不难验证，这样的集合对于向量的加法和数乘也是封闭的，所以我们称这个集合。

我们知道这样的集合也就形成了一个空间，那么这个空间它的任何向量均是阿尔法 1 到阿尔法 n 的线性组合，所以我们称这个向量为阿尔法1，阿法2，阿法 n 向量组所章程，或者叫所生成的一个向量空间怎么来记？记为l，阿尔法1，阿尔法2，阿尔法 n 有时候也给它记为，或者，记为 spend Alpha 1， Alpha 2。那么这是我们常用的几个向量空间。下面我们再来看，什么叫做一个向量空间的子空间。顾名思义了，我设有两个向量空间， V1 和V2，如果， V1 包含在 V2 中，那么我们就称，向量空间 V1 是向量空间 V2 的一个子空间。

好了，那么我们看几个简单的例子，那大家来看，首先来看 R2 平面的子空间，它都有什么呢？对了，零向量构成的零空间自然是它的一个子空间了，因为零向量属于二了。好了，再来看对它自身，当然是它的一个主空间，然后还有什么呢？我们来看，我去，任意的一条过远点的直线，那么在这条直线上我取一个向量阿尔法，那大家来看一下这个阿尔法，那么对于它和任何数 k 的数乘k，阿尔法自然也在这一条直线上。好了，另外我在直线上再取一个向量贝塔，任取一个向量贝塔容易看出两个向量的和仍然在这条直线上，所以我们说什么呢？任意一条，过远点的直线，形成 R2 的一个子空间。那么再来看，对于二三来说，我们来找 R3 的子空间，当然了，零空间是它的子空间，他自身是他的子空间。还有没有？我们画一个示意图，与上面类似，我取任意一点，取这个 R3 这个空间中任意一条过远点的主线。那么不难证明，在这一条直线上的任意两个向量之和仍然是在该直线上，并且直线上任意一个向量的任意一个常数倍也是在这条直线上。所以过远点的，任何一条直线，形成 R3 的一个子空间。

同理，那么我任意取， R3 中无贡献的两个向量，那么我们来考虑由这两个向量都是过远点的，由这两个向量所构成的平面，我们把这个平面上的所有向量放在一起来考虑这个集合。那么大家看在这个平面的这个集合中任取两个向量，它们的和根据平行四边形法则必然同样位于该平面上，并且这个平面上任意向量的数成也位于该平面，所以任何一个过远点的平面也形成 R3 的一个子空间。好了，我们看出在 R2 R3 中它的子空间都有着具体的非常具体的几何含义，下面我们再来看一个，那么我们记一二，下面我们再看一个，我设有两个向量组，当然都是同为向量构成的。阿尔法1、阿法2、阿法 m 和向量组贝塔 1 到贝塔s。满足阿尔法 1 到阿尔法m，可由、贝塔一、贝塔二到贝塔 s 线性表出。

那么来考虑一下，由阿尔法 e 阿尔法 m 所章程的这个子空间和由贝塔一、贝塔 s 所章程的向量空间之间会有什么样的关系。我们说 Alpha 1 到 Alpha m 章程的向量空间必然是贝塔 1 到贝塔 s 所章程空间的子空间，那么这个不难理解了。我们来看，要证明它是它的子空间，首先我们已经知道这两个都已经是向量空间，所以我们只需要来说明这个空间包含在它之中就可以了。

换句话说，我只需要说明对任意的阿尔法属于 l 阿尔法 1 到阿尔法m，也就是说不妨舍它就是 k e 阿尔法 1 加 k m 阿尔法m，我们只需要说明它属于 l beta e 到 beta s 就可以了，那么容易知道了。根据条件，阿法 1 到阿尔法 m 可由贝塔 1 到贝塔 s 表出。也就是说，这里的阿尔法1，我可用贝塔 1 到贝塔 s 的组合表出，依次类推，那么我们把每一个阿尔法 i 的表达式代入，然后重新给他进行这个整理。我们把贝塔 1 前面的系数放在一起，贝塔 2 前面的系数放在一起，以此类推，是不是就可以得到阿尔法可由贝塔一到贝塔 s 表出。换句话说，我们就得到阿尔法属于贝塔一到贝塔 s 章程的校园空间。从向量空间的定义我们看到，如果一个向量空间中含有非 0 向量，它必然会有无数个向量，那么如何把这无数个向量作为一个整体来研究它？大家回忆一下，在三维的几何空间中，我们有坐标系的概念，也就是说我们取定原点以后，我们引入了坐标的概念，给了 3 个向量，这三个向量线性无关，并且对于任意的 R3 称的向量都可以由他们的线性组合表出。所以我要研究R3，事实上我只需要对 i j、 k 加以研究就可以了。

那么自然就要问了，在 n 维的向量空间中，我们能不能也取出有限个线性无关的向量，使得它能够表示出 RN 中的任何向量，那么这个也就是向量空间的积与维数的概念了。

首先来看什么是一个向量空间的机，设向量空间中，空间 v 中的 m 格向量。阿尔法1，阿尔法 2 Alpha m 满足。

以下的两个性质，第一，阿尔法1，阿尔法2、阿尔法 m 线性无关。

第二，对于向量空间 v 中的任意向量阿尔法阿尔法可由向量组阿尔法 1 到阿尔法 m 线性表出。

如果这个向量组 Alpha 1 到 Alpha m 满足这两个条件，则称，向量组阿尔法一的阿尔法 m 为向量空间 v 的一组机，那么这一组机中的每一个向量 Alpha i 就称为是 g 向量， g 向量，一组 g 所含 g 向量的个数，我们称为是 v 的维数，即为，那么它就是机中所含向量的个数。如果一个向量空间的为数为m，我们也称这个向量空间为 m 为的向量空间。好了，那么对于向量空间的理解，大家一定要注意以下的几个问题。

第一个，大家一定要注意区分，我们这里讲的一个向量空间的维数和前面讲过一个向量的位数之间的区别。一个空间的位数指的是什么呢？指的是它的一组机中所含向量的个数，而一个向量的维数是指的这个向量的分量的个数。好了，那么不妨大家来看这样的一个例子，我们取一种1，就是100， 1 中2010。我们来考虑由一桶一桶 2 所章程的空间，不难看出它就是所有的具有这样的形式的A1，A20， A1 和 A2 均是实数，应该是所有这种形式的向量所构成的集合。

那么大家来看，对于这个空间来说，我们知道它的 g 是 1 从1， if 从 2 构成它的积，所以这个空间的维数是多少是2，但是该空间中所含每个向量的维数是多少是3，所以这样一个空间就是一个由三维向量所构成的二维向量空间。通过这个例子，大家也一定要注意区分向量的维数和空间的维数的区别。up，那么很多同学说了，我们前面讲过，如果 v 是一个 0 空间的话，他没有g，他找不到无关的向量组，那怎么办？我们就规定， 0 空间的为数0。

第三个我们再来看，从这个定义我们不难看出，如果我把一个向量空间 v 理解成是含有无数个向量的一个向量组的话，那么向量空间它的积恰好是这一向量组的极大无关组，而它的维数就是这个向量组的质，那么这个也是一个向量空间与我们前面讲过几大无关组的之间的一个关系。

好了，下面我们来看对于特殊的有几个向量所章程的这个空间来说，我们如何来找到它的一组机。我们说对于这个空间，那么向量组阿尔法 1 到阿尔法 m 的，任何一个其大无关组，就是该向量空间的一组机，这个很容易证明了。我不妨假设阿尔法 1 到阿尔法r，是阿尔法 1 到阿尔法 m 的一个极大无关组，那么阿尔法 1 到阿尔法 m 都可由这一组极这个极大无关组线性表出。从而阿尔法 1 到阿尔法 m 的线性组合也可由阿尔法 e 到阿尔法 m 线性组这个线性表出。又因为它是几大无关组，所以它无关。那么根据 g 的概念，我就知道阿尔法 1 到阿尔法 r 就构成了该向量空间的一组机。反过来，如果我已知向量空间， v 的一组机，那么我们一定可以知道 v 就是阿尔法1、阿尔法 2 到阿尔法 r 所章程的那个空间。

下面我们再来看，就我们最常用的这个 RN 来说， n 为向量 RN 来说，那么它的基如何找出 RN 的一些基？我们知道了，我们说 r n 中，任意， 3 个，线性无关的， N 向量所构成的向量组，必然形成 RN 的一组机，这个很容易能够说明。

假如说我任意取阿尔法1，阿尔法 n 属于 r n，并且取他们无关的，要证明它构成一组机已知无关，我只需要说明什么，只需要说明对任意的阿尔法属于 r n，阿尔法可由他们先行表出就可以了。那是不是这样呢？当然了，因为你把阿尔法添到阿尔法1，到阿尔法 n 构成的向量组中得到一个新的向量组，阿尔法1，阿尔法 n 阿尔法。那么这个向量组中所含向量的个数为 n 加1。我们说过 n 加 1 个 n 为向量必然信息相关，所以它是一个线性相关的向量组。那么前面 n 个是线性无关的，添进来一个线性相关，那么添进来的向量必可由前面的线性无关的向量组唯一线性表出。因此阿尔法可由阿尔法 1 到阿尔法 n 线性表出，从而阿尔法 1 到阿尔法 n 就构成阿 n 的一个一阻积。

好，那事实上，这样的结论可以推广到任意的一个向量空间中，也就是说，任意的一个 m v 的向量空间， v 中， v 中你任取 m 个线性无关的向量组必然构成 v 的一组积。那么这两个结论我们简单的讨论了一下，给定一个向量空间如何找到它的一组机，那么从向量空这个空间的机的概念以及我们上面的讨论，我们可以看出其实向量空间的一组机干了一件什么事情，它使得我们能够通过个数最小的一个向量组表示出整个向量空间。那么有了向量空间的g，我们就知道任何一个向量空间中的向量都可由 g 表示，那么这个表达的表示的系数就称为该向量在这一组旗下的坐标。

所以我们来看，设，向量组阿尔法1，阿尔法 r 为向量空间，微的一组机，那么任意取定一个阿尔法属于v，阿尔法必然可由阿尔法 1 到阿尔法 r 线性表出。我们不妨表示为 X1 阿尔法 1 加 X2 阿尔法2， x n 阿尔法n，任意给定阿尔法属于v，那么我们知道阿尔法可由阿尔法 1 到阿尔法 r 线性表出。我们不妨设阿尔法就是 X1 阿尔法 1 加到 x n 阿尔法n，我们就称组合系数 X1 X2 x n 所构成的列向量为向量阿尔法在7，阿尔法 1 到阿尔法 r 下的坐标。

那我们知道当向量空间的 g 给定以后，任意取定向量阿尔法，那么阿尔法可由这一组，即唯一线性表出，因为我们前面讲过了，这个向量主无关，添进来一个，可由他们表出和表达式一定是唯一的了。好，也就是说给定一组机以后，一个向量在这一组机下的坐标就必然是唯一的了。

那么下面我们来看一个具体的例子，给定一组机如何求出一个向量在这组机下的坐标？我们看，我设有一个向量，阿尔法110，阿法20110，阿法三，-1210，阿尔法4，0010，证明， 4 就是阿尔法1，阿法2、阿法3、阿法 4 所章程的空间。我们给定，阿尔法就是 1 负154，球，阿尔法在 g 阿尔法1，阿法 4 下的坐标。

下面我们来分析一下。我要证明 R4 就是由 Alpha 1 到 Alpha 4 所章程的空间，那也就是要证明 R4 中的任何一个向量可由阿法 1 到阿法 4 线性表出。第二个，我们要给定阿法，要求出阿法在阿法 1 到阿法 4 下的坐标。也就是说我要解出这样一个线性方程组的一组解。事实上这两个任务我们可以在同一步中完成。大家来看，我们令矩阵 a 为阿尔法1，阿尔法2，阿尔法3，阿法4，阿尔法，那么也就是什么呢？也就是，1012，0110411211，我们对这个矩阵 a 给它做出等行变换。变成什么呢？我们把它变成最简型，然后我们来分析如何从其中看出我们所想要的结果。那么我们来看，那这个具体的过程大家自己下去做。用初等行变换，我们直接写出它的结果，该矩阵的行最简型为这样子的一个形式。

好了，我把第一个列记为阿尔法一撇，类似的阿尔法 2 一撇、阿尔法 3 撇、阿尔法 4 一撇和菲塔，或者我们记为阿尔法撇。既然我这里是做初等行变换，那么上一节有一个非常重要的一个结论，说什么呢？对矩阵做出等行变换，不会改变该矩阵列向量组的组合关系。那也就是说，阿尔法 1 到阿尔法 4 阿法这五个向量之间的组合关系，与阿尔法一一撇到阿尔法 41 撇、阿尔法撇之间的线性组合关系完全相同。

那从这个结果我们可以看出，阿尔法一撇、阿尔法二撇、阿尔法三撇、阿法四撇是线性无关。既然阿尔法这个列向量组合它们有相同的组合关系，所以阿尔法 1 阿法2、阿法3、阿法4，也就线性无关。因为我们说有相同的线性组合关系，从而必然有相同的线性无关或者线性相关性。好了，那么从我对任意的阿尔法属于R4，那么考虑向量组，阿尔法 1 到阿尔法 4 阿尔法，那这个向量组是 5 个四维的向量了。 5 个四维的向量，它必然是线性相关。阿尔法一到阿尔法斯线性无关，添进来一个阿法线性相关，于是我们就得到，阿法可由阿尔法 1 到阿尔法 4 这个向量组线性表出。因为阿尔法是我在 R4 中任意取的一个向量，所以我们说阿尔法 1 到阿尔法 4 可表出 R4 中的任意一个向量，也就是什么呢？也就是说阿尔法 1 到阿尔法 4 构成了向量空间 R4 的一组g，那么根据我们刚刚讲的结果，它既然是一组g，那么 R4 就表示成什么了这一阻击的所章程的空间，于是我们就证明了第一个结论好了。

那么下面关于第二个，我要求阿尔法在这组机下的坐标，那么我们从该矩阵 a 矩阵的这个行最简刑我们看出，阿尔法 1 撇由阿尔法一撇到阿尔法 4 一撇线性表出，并且组合系数恰好是阿尔法 1 撇的这些分量，也就是说阿尔法 1 撇就等于 2 倍的阿尔法 1 一撇减去 3 倍的阿尔法 21 撇。

那么既然阿尔法这个向量组和阿尔法撇这些向量组是具有相同的组合关系，所以我们阿尔法就标示为 2 倍的阿尔法1，减去 3 倍的阿尔法2，加阿尔法3，再加上 5 倍的阿尔法4，从 2 所求的坐标尾，这些组合系数的构成的列向量也就是 2- 3，这是一个，那么这是一个具体的例子。我们也看出给定一个向量空间的一组积以后，对任意向量要求它的坐标，其实就是求一个线性方程组的解就可以了。

好了，下面大家来考虑这样一个问题，我们说对于一个向量空间来说，只要它不是零空间，那么我们可以找出它的一组机，那大家考虑一下这个 g 向量是不是唯一，就确定的，或者说向量空间的 g 是否唯一。我们来看一个例子，大家来考虑这样的几个向量，好了，我们来考虑一种 123 所章程的空间，那大家容易看出它其实就是 R3 了，很明显它其实就是一部分 123 所章程的这个向量空间，那大家考虑一下。首先123，一种 123 构成 R3 的一组机，这个很简单，我们讲过，并且叫做自然机。那么大家再考虑，如果我再取 1* 11 乘 41* 5 取 11 乘 4 和 1* 5，那么不难看出他们是，线性无关的。并且你任意再取 R3 中的一个向量加进来以后，那么四个三维向量必然线性相关，所以新加进来的向量也可由一一不从 1 到1，不从 41 不从 5 所构成的向量组所表出。

也就是说什么呢？对于 R3 中的任何一个向量，它也可由 1 从一，一从 41 从 5 先行表出，于是 1 从一，一从 4 和 1 从 5 也构成 R3 的一组积，也就是说，也就是说向量空间的 g 往往是不唯一的，那么 g 是不唯一的。我们就有一个很自然的问题了，比如说我任意给一个向量，任意给一个向量，那么这个向量在不同机下的坐标又是什么样的关系？那我们来看一下我如果用 1* 12 三维积的话，很显然这个阿尔法就等于 2 倍的 1 种一，二倍的一种 2 + 1 种3。那么如果我取 1* 11* 41* 5 为基向量，那么这个阿尔法又可以表示为 0 乘以一种1，加上一不送四。在家中午可见，同一个向量在不同机下的坐标往往是不同的，那么它们之间有什么样的关系？这个关系就是我们这一节的第三个问题， g 变换与坐标变换公式。

首先来看第一个。方面，我给定向量空间v，我们假设阿尔法 1 到阿尔法 m 和贝塔 1 到贝塔 m 均为， v 的g，我任意取出他的两组机。那么由 g 的概念我就知道阿尔法e，阿尔法m，贝塔 1 到贝塔 m 可以互相线性表出。那么我们不妨设， Beta 1 就等于 A1E 阿尔法一二1，阿尔法 2 加到 m e r 法m， Beta 2 就等于 a 一二阿尔法 1 加上 a 二二阿尔法 2 c m，m。以此类推， beta m 就等于 a e m 阿尔法 1 加 A2M 阿尔法 2 m m 阿法m。

好，我们不妨设贝塔 1 到贝塔 m 这个基向量组，由阿尔法 1 到阿尔法 m 线行表初始的表达式以这个形式，那么我们把上面的表达式也可以表示成如下的一个形式，贝塔 1 贝塔 2 贝塔m。用矩阵的分块矩阵的乘法，我们可以把它表示为， A 1121 M1 Beta 2 就是 A 1222， p m five。

好了，那我们令这里的矩阵 a i j 为大a，则我们看到什么？我们看到向量组贝塔 1 到贝塔m。可由向量组阿尔法 1 到阿尔法 m 先行表出，并且表示系数为a，那这个 a 就称为是g。阿尔法 1 到阿尔法 m 到贝塔 1 到贝塔 MG 组机的过渡矩阵称巨阵 a 为由 g 阿尔法1、阿尔法 m 到贝塔 1 贝塔 m 的过度矩阵。

下面我们来看一下，对这个过度矩阵来说，容易看出 b 这个列恰好是 beta 界用阿尔法 e 阿尔法 m 线性表出时的。组合系数。

第二个我们再来看，容易看出这里的矩阵 a 是一个 m 乘 m 的方阵，那么根据乘积矩阵和矩阵因子的质之间的关系，我们知道 a 的质，一定是大于等于乘机矩阵贝塔一贝塔 m 这个矩阵的质，因为贝塔一贝塔 m 是向量空间 v 的一组积，因此它线性无关，从而这个质就等于m。又因为任何一个矩阵的质不超过它的行数列数，可见 a 的质是m，也就是说 a 是一个什么可逆症？所以，我们看到给定一个向量，它的任何两组积之间一定相差一个可逆矩阵。

好了，那么如果 a 是阿尔法 1 阿尔法 m 到贝塔 1 贝塔 m 的过度矩阵的话，我两边同时又乘 a e，就会得到阿尔法 1 阿尔法 m 就等于贝塔1，贝塔 m 乘以 a 逆。也就是说 a 是阿尔法 g 阻击到贝塔 g 阻击的过度矩阵，则 a 逆就是贝塔 g 阻击到阿尔法 g 阻击的过度矩阵。好了，这是过度矩阵的一个简单的性质。那么利用这个过度矩阵，我们再来看一个向量在两组积下它的坐标之间的关系。我们来看，坐标变换公式，坐标变换公式好了，我设阿尔法 1 阿尔法 m 与 beta 1、 beta m 为向量空间 v 的两组机，取定向量阿尔法属于v，任意给定阿尔法属于向量空间v，那么阿尔法就可由这两阻积分别线性表出。我们不妨设阿尔法就等于K1，阿尔法 1 加K2，阿尔法2， k m Alpha m 又等于X1， Beta 1 加 X2 Beta 2， m 贝塔m。

那么这两组合系数之间会有什么样的关系？我们来看，我把这种表达式我们给他用另外一个形式写出来，我就得到阿尔法就等于阿尔法 1 阿法 2 阿尔法 m 乘以K1，K2， k m。同理，将这个表达式引用分块矩阵的形式表示 data m 乘以X1， X2 next time。

好了，如果这两组 g 它之间的转换关系为，若，贝塔一贝塔 m j 组七，与阿尔法 1 阿尔法 MG 主机之间存在这样子的过度关系的话，则我们会得到什么呢？我将这个表达式带入到上面的关系式中，我们就会得到阿尔法，就等于把这个式子带入，我们就会得到它，就等于阿尔法 1 阿尔法2，阿尔法 m a 这是贝塔 1 到贝塔 m 了，再乘以 S1X 2 对应相乘相加。可见，把阿尔法用 g 向量组。

阿尔法 1 到阿尔法 m 表示的时候，它的系数有两种形式，第一种形式是 K1 到 k m 的列向量，第二种形式是 a 乘以 X1 到的这个向量。又因为我们知道给定一组 g 以后，同一向量在这组 g 下的坐标是唯一的。由坐标的唯一性，我们就得到这两组坐标之间一定存在这样的关系，就是 K1 K2 k m，就等于 a 乘以X1，X2。

好了，那么这个式子就给出了同一向量阿尔法在两组不同积下的坐标之间的关系，那么这个关系我们就称为阿尔法的坐标。变换式公式、坐标平衡公式。于是给定一个向量阿尔法以后， 2 给定两组机，那么在一组机下的坐标知道，则在另外一组机下的坐标，我们相应的也就可以计算出来好了，那么这一节我们讲了 3 个问题，我们引入了向量空间及其子空间，然后我们介绍了向量空间的积以及它的维数。最后我们介绍了向量空间不同机的变换公式，以及同一向量在不同机下的坐标变换公式。休息一下，我们再来看下面的内容。