好，同学们上午好。这节课我们讲向量组的线形相关性。向量是数学中的一个重要概念，也是线性代数中常用的一个基本概念。向量的线性关系，也就是向量中的线性相关和线性无关性，是建立向量空间和线性方程中理论的重要基础。这节课我们一方面要温故知新，将前面学过的知识加以总结提炼，另一方面我们要进一步学习一些新的东西。

先回忆一下向量的概念。所谓向量，就是一个有序数组，其中的每一个数叫做向量的分量的个数就乘坐相当的位数。一个 n v 相，我们可以看成是一个 e 乘 n 的矩阵，或者是一个 n 乘以的矩阵。从这个意义上来讲，向量可以看成是矩阵的一种特例，不过反过来，向量概念还可以进一步加以引申，抽象发展出向量空间的概念，然后反过来又包含矩阵作为它的特例。我们学习线性代数时，常可以看到向量相对空间和矩阵交织在一起，那么我们其相当的线性相关性。

先要回忆两个最基本的概念，一个是线性组合，一个是线性。表出好是阿尔法1，阿尔法 2 阿尔法 m 是一组 n 为向量， K1 K2 k m 是一组数。那么乘 K1 Alpha 1 加 k 二 Alpha 2 加 k m，阿尔法 m 为向量组，阿尔法1，阿尔法 2 一直到阿尔法 m 的一个线性组合。对一个 MV 相当。

贝塔来讲，如果说存在数 K1 K 2 km，使得贝塔能够表示成 K1 阿尔法 1 加 K2 阿尔法 2 一直加到 k m 阿尔法m，我们就冲贝塔可以由阿尔法1、阿尔法2、阿尔法 m 线性表出，或者说贝塔是阿尔法1、阿尔法2、阿尔法 m 的一个线性组合。

我们回想一下前面说过方程走的理论，大家来考虑线性方程走有没有减，是不是就等价于长速项组成的裂向量能不能有吸收矩阵的列向量线性表述，看看两者之间的关系。下边我们就来考虑一个向量能不能有一个向量组线性表述的问题。大家想一下，这三维空间中，假设阿尔法1、阿尔法 2 不贡献，如果说阿尔法 3 可以由阿尔法1、阿尔法 2 线性表出，那么阿尔法1、阿尔法2、阿尔法 3 就共面。如果阿尔法 4 不能由阿尔法1、阿法 2 线性表出，那么阿尔法1、阿尔法2、阿尔法 4 就不共面。

我们从简析集合的知识知道，阿尔法1、阿尔法2、阿尔法 3 共面的充分必要条件是存在不全为 0 的实数K1，K2， K3 四得 K1 阿尔法 1 加 K2 阿尔法 2 加 K3 阿尔法 3 = 0 向量，这有个图4，大家看一下。阿尔法1、阿尔法2、阿尔法 4 不公面的充分必要条件是有， K1 阿尔法 1 加 K2 阿尔法 2 加K4， Alpha 4 等于0，推出来K1，K2， K4 都等于0。我们从右边那个图形也可以看出来，那么 Alpha 1， Alpha 2 阿尔法3，阿法 4 其中阿尔法 3 可以由阿尔法1、阿尔法 2 标出来，也就是说他们是公面的，那么跟阿尔法1、阿尔法 2 和 284 就不公面。受这些例子的启发，我们抽象出一个一般性的定义，称向量走 Alpha 1， Alpha 2， Alpha m 是线性相关的。如果存在 1 走不传为 0 的数， K1 K2 k m 四的 K1 Alpha 1 加K2， Alpha 2 加 k m 2 发 m 等于 0 向量。如果这向量做 Alpha 1， Alpha 2，你知道阿尔法 m 不是线性相关的，就称他们是线性无关的。

大家看一下，这种用否定的语气给出线性无关的定义，显然不好判定，不好验证。那么换一种说法，比如说对任意不全伪证指数 K1 K 2K 母上边的意识不成立，那么这样来定义仍然不好验证。那么有没有一种正面叙述，有便于验证的一种定义？大家看看下边这种经济方式是不是比较理想一些，就是 u k e 阿尔法 1 加 K2 阿尔法 2 一直加到 k m 阿尔法 m 等于0，向量，蕴含着 K1 K2 一直到 k m 全部是0，这种经营方式比前边来讲相对来讲好验证一些。

那么这和三维空间的三个销量不供面的充分比较条件是一致的。我们联想一下解析集合中的结论，供面的三个向量是线性相关的，不共面的三个向量是线性无关的。我们先看几个特殊情况，记一个看看 0 向量，如果一个向量柱当中含有 0 向量，那么这个向量柱怎么样？已经线性相关，有这个很容易验证。比 0 相当前边系数取1，其他相当的前边系数都是 0 就可以了。

好，看个单个向量，一个向量中自含有一个向量，那么它要线性相关就已经怎么样？如果线性无关又一定会怎么样？单个向量阿尔法西安性相关，那就说存在一个不为 0 的数， k 使得 k 阿尔法不等于0，然后只能推出了阿尔法等于0。也就是说单个向量阿尔法线性相关，那个阿尔法智能是 0 向量，那线性无关是什么情况？那只有它是非零向量。

好，我们现在看一个 n v 向量中 e 部分，一部分21，得一部分n，那么这个向量做的每个向量的都比较特殊，积一个向量积一个分量是1，第二个向量是第二个分量是1。等等。我们说这一周向量是下行无关的，当然这个非常容易验证，我们马上就上班，这个关系是具体来写，就是他立即就推出来这些吸收K1，K2， k n trust 0。因此我们所向量走 1 部分是 11 部分 21 部分n，线性无关。

我们进一步看，对任意一个 MV 向量阿尔法这样一个分量式，阿尔法1，阿尔法 2 到阿尔法n，显然可以把它用前边的一部分1，一部分2，一部分人表示出来。我们注意到这一部分 i 的系数恰恰是阿尔法的 g i g 分量，所以说这种表示形式既自然又整齐，很简单。所以说我们通常把这一组向量称为 n 为基本单位。

向量组销量组的线性相关性是线性代数当中最基本的概念之一，所以非常重要。正因为如此，我们下面从各个不同的角度来对线性相关和线性无关它的本质区别加以刻画。好，我们先从线性组合的角度来看，那么向量组阿尔法1，阿法 2 到阿尔法 m 线性相关充分必要条件是什么呢？他们有叙述不传为 0 的线性组合等于 0 向量，那么它们线性无关的充分必要条件是什么呢？它们只有系数传为 0 的线性组合才会等于0。下面从线性表述的角度来看，相当做 Alpha 1， Alpha 2， Alpha m 线性相关充分必要条件是其中至少有一个向量可以有其余向量下行表述。我们对这个结论加以简单的证明。先看必要性，假设向量做阿尔法 1 阿法2，阿尔法 2 不线性相关，那我们根据定义就存在不全为 0 的数， K1K2 k m 是的， K1 阿尔法 1 加 K2 阿尔法 2 加k，阿尔法 m 等于 0 向量。假设 k i 不等于0，因为是一组不全为 0 的数吗？至少有一个系数不为0。

我们假设 k 不等于0，那么由上边这个式子就可以得到，阿尔法 i 表示成这样一组形式，这说明什么问题？说明 Alpha i 可以有向量组的其余向量线行表示这个充分型。为此假设向量组阿尔法一阿尔法 2 到阿尔法 m 当中有一个向量，比如说阿尔法键可以有其余的向量线性表出，也就是这个样子好表示成这种形式。

那么通过一项，我们从这个线性关系上来看这个系数阿发界的系数是-1，它不等于0，这说明什么问题？相关线性相关，根据线性相关的定义可以得出来，我们从线性表述的角度看到线性相关。那么现在看向量做阿尔法1，阿尔法2，阿尔法 m 线性无关的重要条件是什么呢？那就是其中每一个向量都不能有其余的向量线性表述好，下边我们从 0 向量的角度来看，向量中阿尔法1、阿尔法2、阿尔法 m 线性相关充分必要条件是，零向量可以由它线性表出，但表出形式不唯一。而相对度阿尔法1、阿尔法2、阿尔法 m 线性无关充分必要条件是什么？ 0 向量可以由它线性表述，并且表述形式唯一。

我们再从其次线性方程走这个角度来看这个列向量。阿尔法1、阿尔法 2 找阿尔法 m 线性相关充分必要条件是，存在不传违令的数。开一开二 k m 四得K1。阿尔法 1 加K2，阿尔法 2 加 k m，阿尔法 m 等于 0 向量也等价于什么呢？等价于这样一个其次线性方程走有非零点，再看线性无关，那么列向量走 Alpha 1F2 Alpha m 线性无关的充分比较条件使这个线性方程走自由零点，我们才从质的角度来看 m 个 NV 列向量阿尔法1，阿尔法2，阿尔法 m 线性相关充分比较条件是，由这些列向量组成的这个矩阵，它的质小于向量的个数 m m 和 n v 电向量阿尔法1，阿尔法 2 r 和 m 线性无关的充分比较条件是刚才说的这个矩阵的值等于向量的个数m。

我们再从行列式的角度来看， n 个 n v 列向量阿尔法1，阿尔法 2 到阿尔法 n 线性相关充分必要条件是，由这些列向量组成的矩阵的行列式等于0。好，可想而知。那么 n 个 n 为列向量，阿尔法1，阿尔法 2 到阿尔法 n 线性无关的充分比较条件就是由它们造成的，这个矩阵的行列式不等于0。刚才我们大多都是被列向了来讲的，由于这个一组向量线性相关跟它展示以后，它的线性关系是一样的。可以这么说，由于航向量作为阿尔法1、阿尔法2、阿尔法 n 线性相关，当且锦汤列向能走就是他们的一些转制线性相关，所以我们上边的这些结论对于航向量也是成立的。好，我们把前边的这些结论汇总成一个表，写成这样一个简单的形式，大家可以做一个对照。刚才我们从多个不同的角度刻画了相当的线性相关和线性无关性，下边我们再讨论线性相关性的一些性质，一个向量组的线性相关性与它的某个部分组的线性相关性有什么关系？什么叫部分组？就是从这个向量组中拿出一部分向量来组成的向量组，我们把它称为部分组，那么一个向量组和它的部分组在线性相关性方面会有什么的关系？第一个性质，如果向量走的一个部分走线性相关，那么整个向量走列线性相关。我觉得这个理解起来非常容易，就好比说我们学院里有一个班的同学当中存在有亲戚关系，那么我们整个学院的学生当中是不是也有存在亲戚关系的？嗯，所以这个好理解。

我们证明一下，假设相栏柱阿尔法1，阿尔法2，阿尔法 7 到阿尔法 7 + 1，一直到阿尔法m，这是一个向量组，它有一个部分轴是阿尔法1，阿尔法 2 到阿尔法7。假设线性相关，那么只有不传为0。指数开 1 开 2 开器，使得开1，阿尔法 1 加开2，阿尔法 2 一直加到 KT Alpha 7 等于0。这样一来，我们就可以看给后边那一部分向量全配上 0 作为吸收，那么仍然得到一个 0 响量。因为我们说K1，K2， K7 不传为0，所以那整个这K1，K2， K7 到后边的 0 加到 1 块来算，仍然不传为零。

这说明什么问题？说明这个原来整个销量组也线性相关。再来看一下我们这个行之一中的这一个结论，说如果一个向量族的一个部分族线性相关，这整个向量族也线性相关，它的逆富名气是什么？什么呢？好，就是如果向量走线性无关，那么它的任何一个部分走也线性无关，这实质上就是性之一当中的第二个结论。由于原名气和义父名气是等价的，所以我们性质 1 的两个结论全部得证。

我们换一个角度来看，子性之一相当于说当向量的个数发生变化时，这个向量组的线性相关数会发生什么样的变化。现在我们考虑当相当的位数发生变化时，线性相关性会是怎么样变化的。我们先看一个例子，有个三维向量，左阿尔法1，阿尔法 2 到 Alpha 3。假设它线性无关，现在我们给每个向量都添加两个分量，请注意我们添加的那个位置必须一样，对每个向量来讲，添加的位置要一样。那我们看一下这个五维向量中，它们是不是线性无关，就是阿尔法18，阿尔法218，阿尔法318，他们是不是线性无关的？是，因为这个比较容易理解，我们分析一下阿尔法1、阿尔法2、阿尔法3，线性无关，充分必要条件是什么呢？下边这个。其次，线性方程走只有 0 减好，有这个很容易，反正这就说明什么问题，说明阿尔法一霸，阿尔法218，阿尔法 318 也先行无关。我们在这里这个增钱向量分量的个数就相当于增加方程的个数。我们用同样的方法可以证明一个一般的结论，刚才我们是对三维向量增加为数，现在我们看一般的就是性质。如果 n v 向量构成的向量组线性无关，那么给其中每个向量均添加 s 个分量，与每个向量添加分量的位置相同。这样一来得到的 n 加 s 为向量组，我们称作前边的那个向量组的延长组，那么这个 n 加 s 为的向量组仍然线性无关。

这里我们是用一个简化的说法，所谓 n v 向量轴，就是说由 n v 向量组成的一个向量组。 n 加 s v 向量轴就是由 n 加 s 为向量组成的向量组。大家看一下这个相当于说什么呢？延长之后是吧？这个延长走也线性无关，后边再乘坐前边的延长走，那么前边就成为后者的缩短组。我们为了称呼起来方便，那么我们把行者的逆风名气看一下，因为行者说如果 n v 向量构成的向量走线性无关，那么它的延长奏也显性无关，那么它的逆幅名句是什么呢？就是这样，如果这个向量走线性相关，那么它的缩短走叶线性相关。我们知道原名其和逆风名其是增加的，所以只要证明一个，另一个自然也成立。我们把兴致 2 和他的逆风名气合并起来就是性质，而一撇就是如果向量走线性无关，则其延长走线性无关。如果向量走线性相关，那么它的缩短走也线性相关。好，前面我们一个是考虑着相量个数的变化对线性相关性的影响，又考虑了当维数发生变化时对线性相关性的影响。那么下边我们要考虑当一个向量轴中向量的个数和位数满足一个什么关系的时候，这个向量就是线性相关的。

好，这就是性质 3 当 m 大于 n 时， m 个 m v 向量组成的向量组一定线性相关。我们证明一下，这个很容易证。由 m 个 n 为向量构成的矩阵，我们把它记为a，那么根据我们前面学过的知识， a 的值一定小于等于n，嗯，对不对？这个矩阵的知识小于等于它的行数，而 a 根据假设又小于m，这样一来，构成 a 的 m 个向量就一定线性相关。

性质 3 相当于说，当向量的个数大于向量的位数的时候，这个向量组已经线性相关，是不是？在这节课的开头，我们曾经说过，在三维空间中，若阿尔法1、阿尔法 2 不贡献，那也就是说他们什么呀？线性无关。这时候阿尔法 3 可以由阿尔法1、阿尔法 2 线性表示的充分必要条件是，阿尔法1、阿尔法2、阿尔法 3 布面，也就是说阿尔法1，阿尔法2、阿尔法 3 线性相关。

由此我们猜想有下面一个命题是向量走， Alpha 1， Alpha 2， Alpha m，线性无关，那么向量贝塔可以有阿尔法1、阿尔法2、阿尔法 m 线性表述的充分必要条件 4 阿尔法1、阿尔法 2 阿尔法 m 加进了一个贝塔，它线性相关。这是个充分必要，强加我们给出证明来必要性是显然的，是吧？如果线性相关，它当然已经可以给表示，对不对？大家看一下必要性，这贝塔如果可以有这一种向量线性表述，那当然他们就线性相关，合到一块就线性相关了。所以我们自正从分型好是阿尔法1、阿尔法2、阿尔法 m 和贝塔线性相关，那根据定义就存在不全为 0 的时候，K1，K2，k，m， l 使得下边这个线性关系是成立。看看 l 能不能等于0，假如说 l 等于0，那么K1，K2，k， m 就不能传为 0 了。

嗯嗯，好，那我们用前边的师资就会得到这样一个线性关系式，这说明什么呢？说明阿尔法1、阿尔法2、阿尔法 m 线性相关，这与我们的大前提是不是矛盾了？我们的假设条件是阿尔法1、阿尔法2、阿尔法m，线性无关，这说明什么问题？说明 l 不能为0，我们就可以。

前面的关系是不被它解出来，表示成这样一个形式，这有什么什么问题？贝塔可以由阿尔法e，阿尔法尔、阿法 m 线性表出。好，这里提一个问题，这种表述形式唯一不唯一，我们刚才的正方没有明确的显示这一点，那么下边再看第二个正方，必要性同样是很简单的，那么只看充分性。

由于阿尔法1、阿尔法2、阿尔法 m 线性无关，所以这个矩阵就是由这些向量组成的，这个矩阵的支就是m，而 Alpha 1， Alpha 2， Alpha m，贝塔线性相关说明什么问题来？那么由他们组成的这个矩阵的值一定小于 m 加1，它是 m 加 1 列，对不对？所以这个值得一定小于 m 加1，这样一来，我们看一下这两个矩阵的质都是m，那么根据线性方程走的理论，这个方程走有违点，也就是说贝塔可以由阿尔法1，阿尔法 2 阿尔法 m 唯一线性表述。所以说这个正法把唯一性孙柏叶指出来了。

我们再看一下推论，大前期仍然是阿尔法 1 阿尔法2，阿尔法 m 这个向量组线性无关，那么向量贝塔不能由阿尔法1，阿尔法2，阿尔法 m 线性表示的充分必要条件是什么呢？就是阿尔法1，阿尔法2，阿尔法 m 加进一个贝塔是线性无关的，上面的经历和推论就是他。我们把经理和推论再重演一遍，这是很重要的一个结论。他们干了个什么事情？回答了当向量做 Alpha 1、 Alpha 2， Alpha m 线性无关的时候，向量贝塔能不能由 Alpha 1、 Alpha 2、 Alpha m 线性表述的问题。

这是我们在香奈儿这一部分非常关心的一个问题，汇总起来就是说如果香奈儿做阿尔法1，阿尔法2，阿尔法m，贝塔线性相关，那么贝塔就可以由阿尔法1，阿法2、阿尔法 m 线性表出。如果说向量走阿尔法1，阿尔法2，阿尔法m，贝塔线性无关，那么贝塔就不能由阿尔法1，阿法2，阿尔法 m 下行表述我们看一个例子，抑制向量组阿尔法 1 阿尔法 2 阿尔法 m 线性相关。阿尔法 2 阿尔法 3 阿尔法 4 线性无关。我们现在要问两个问题，一个是阿尔法 1 是不是可以由阿尔法2，阿尔法 3 线性表出？这个是阿尔法 4 是不是可以由阿尔法1，阿尔法 2 阿尔法 3 下行表出？我们一个一个来看，对 1 来讲，我们的结论是阿尔法 1 可以由阿尔法2，阿尔法 3 线性表出。为什么呢？因为阿尔法 2 阿尔法3，阿尔法 4 线性无关。

根据性质疑，说什么呢？一个向量走，线性无关，它的部分走也线性无关。所以说有阿法 2 阿尔法3，阿尔法 4 线性无关，就推出了阿尔法 2 阿尔法 3 线性无关，又因为阿尔法1、阿尔法2、阿尔法 3 线性相关，这个符合哪个条件了？符合我们那个定理的条件了？对，相当于给这个线性无关组加进了一个阿尔法一，变成线性相关的了，对不对？符合经理的条件。所以说阿尔法 1 可以由阿尔法2、阿尔法 3 线性表出。

再看第二个结论，我们说阿尔法 4 不能由阿尔法1、阿法2、阿尔法 3 线性表出，为什么呢？假如不然，如果说阿尔法 4 可以由阿尔法1、阿尔法2、阿尔法 3 线性表出，我们有第一个结论已经知道什么了。说阿尔法 1 可以由阿尔法2、阿尔法 3 线性表出，这样一来，阿尔法 4 是不是就可以由阿尔法2、阿尔法 3 线性表出了？好，这就都是矛盾，所以说阿法 4 不能由阿尔法1、阿法2、阿尔法 3 线性表出。所以这个题目就把我们前边的这个结论和性质运用了一下。

好，下边再思考几个问题，看看下边的说法是不是正确。一个向量走线性无关充分必要。条件是其中任意两个向量线性无关。大家看这个结论对不对？对对不对？对不对？有没有一部分对呢？两个方向有没有对的？如果说从左边到右边对不对？左边到右边是对的，这是根据什么？相当于一个销量组和它的部分组，是吧？这样一个关系，对，那么反过来从右边能不能退出左边？这很容易举出例子来，等一会我们看一个例子，那么第二个问题是一个向量走线性相关，充分必要条件是其中每一个向量均可有其余向量线性表述，这个对不对？我们也分开看，从左到右，从右到左分别来看，左边能不能从右边来？不能不能，那么从右边能不能推左边跟法律好不好聚，比如说后边一个例子。

第二个问题，比如说我们看，那么这个相当作物是不是相关的？因为相当的个数大于尾数，从这个角度可以判定它是线性相关的。当然直接一看也知道它是线性相关的，因为零校在里边，那么这里边的有没有销量，不能用别的销量线性表述有没有好，这就是一个反例。第三个问题，向量柱 Alpha 1、 Alpha 2，阿尔法 m 线性无关，它的充分必要条件是对任意一周不全为 0 的数 K1 K2 m 有 K1 阿尔法 1 加 K2 阿尔法2，甲开 m 阿尔法 m 不等于 0 向量对，这个对不对？好，这几个思考其大家下去可以详细的写出论证的过程，或者举出反例。这下面我实际上给了几个反例，把结论也给出来了。

这对第一第二个问题好，前边我们说过我们的定理和推论，回答了党向量组阿尔法1，阿尔法2，阿尔法 m 线性无关时，向量被它能不能由它们线性表述的问题。那么当向量做 Alpha 1， Alpha 2， Alpha m 线性相关时，向量贝塔是不是能够由他们线性表述？这是一个问题。

我们回想一下，我们在前面讨论线性方程走的时候，我们总是希望取教那些多余的方冲，留下尽量少的方程与原方程走同简每次的道理。我们考虑向量组的时候，也希望能够用其中进料上的向量表示其余的向量。那么这些问题就是我们下节课要讲的问题。好，这节就讲到这儿，下课。