大家好，前面我们通过对二维、三维向量进行推广，我们引入了 n 维向量的概念，并且建立了向量空间的理论。在前面的讨论中，向量的运算只涉及到加法和数乘这种线性运算，并不能够讨论向量的长度或者夹角这样子的度量性质。那么大家回忆一下在三维空间中向量的长度和夹角，我们可以通过向量的内积或者数量积来描述，因此这一节我们就通过对三维向量空间中向量的内积进行推广，从而定义 n 维向量的内积以及向量的长度和夹角。这就是第5节向量的内积与正焦矩阵的内容。N。

好，首先来看第一个问题，我们来看 n 维向量的，内积长度，和夹角。

是了有两个向量，阿尔法A1，A，2， AN 和贝塔。1，B1，B2，b， n 为任意两个 n 为向量，我们称，SHOE。A1， B1 加A2， B2 加到a、 n b， n 称这个数为向量。阿尔法与贝塔的内积，记为阿尔法与贝塔的内基，就这样子来记，用监括号来表示。那么从定义很容易可以看出，事实上 n 维向量的内积是三维向量内积的一种，很自然的一种推广。怎么来运算呢？内积是两个向量的一种运算，怎么来运算？对应分量相乘相加。

好了，从这个定义表达式我们也可以看出争议给定两个 n 维的列向量，我们也可以把它的内积用向量的乘法来表示用，因为我们向量可以理解为特殊的矩阵，所以用矩阵乘法来表示的话，它就可以表示为阿尔法的转制乘以贝塔，或者也可以表示为贝塔的转制乘以Alpha。

好了，根据内肌的定义，我们可以很容易的验证向量的内肌具有如下几个性质，第一，内积的运算具有对称性，也就是说阿尔法与贝塔的内积就等于贝塔与阿尔法的内积。好了，这个我们称为对称性。第二个，我们叫做线性，什么意思？就是 k Alpha 加上 l beta 与向量，伽马的内基就等于 k 倍的 Alpha 与 Gamma 的内积，再加上 l 倍的贝塔与伽马的内基，那么根据定义都很容易可以验证。第三个，我们说内积具有非负性，具体来说就是说任意一个向量，阿尔法和它自身的内积都是一个非大于等于 0 的非负数，并且，阿尔法与它自身的内积等于0，当且紧当， Alpha 等于零，零向量。好。第四个关于内积，我们要介绍的一个重要性质就是内积的柯西 10 万字不等式，任意给定 n 维向量阿尔法，贝塔，总有阿尔法与 beta 内积的平方不超过阿尔法与它自身的内积乘以贝塔与它自身的内积。好，这个不等式我们称为柯西洗发子不等式。那么下面我们来简单的证明一下，这个不等式。

那大家看，如果，贝塔为 0 向量，那么我们说了贝塔和它自身的内积就是0，而任何一个向量和 0 向量的内积，根据定义很显然也是数0，因此不等式成立。那么如果贝塔不等于0，若贝塔不等于0，我们如下的构造，一个向量伽马就等于阿尔法加上 t 倍的被打， t 是任意一个实数，则我们来讨论一下伽马，和他自身的内积，那么我们就知道了，伽马和伽马的内机就是阿尔法加上 t 贝塔和阿尔法加上 t 贝塔的内机。

根据内积的线性，我们就会得到它，就等于阿尔法和阿尔法的内基，再加上阿尔法和 t beta 的内基，也就是 t 背的阿尔法贝塔好了，再加上 t 贝塔和阿尔法的内积，那就等于 t 倍的贝塔和阿尔法的内积。根据内积的对称性，我们说这个地方就是 2 倍的 t 阿尔法贝塔，再加上 t 平方贝塔和它自身的内积。

好了，内积具有非负性，那这个结论告诉我们说，对于任意的 t 属于实数，这个表达式都是大于等于 0 的，那么我们来观察一下左边它是一个关于 t 的一个什么呀？一个一元二次三项式，又因为此时贝塔是非 0 的，所以这个二次三上市的这个平方向的系数，贝塔的与它自身的内积一定是一个大于 0 的数，那么也就是说它的图像是开口朝上，那这样子的话，它的值要大于等于0。

我们说这个二次三项式的贝的这个判别式达尔塔必须是小于等于 0 的，也就是说什么呢？也就是说 4 倍的阿尔法贝塔的平方，减去 4 倍的 beta 与 beta 的内积，乘以阿尔法与阿尔法的内积应该小于等于0。好了，那么对它进行整理，我们就可以得到，这就是阿尔法与贝塔内基的平方不超过阿尔法与它自身的内积，乘以贝塔与它自身的内积。好，可见我们的不等式是成立的。那么这个不等式我们称为柯西许袜子不等式。那么在后面的讨论中，我们会经常用到这个重要的不等式。那么有了内积的定义，类似于三维向量空间，我们就可以将一个向量的长度给它推广到 n 维向量。 i can。第二个定义，设有一个 n 维向量阿尔法，它的分量我们有X1，X2，x，n，我们就称。树 X1 的平方加上 X2 的平方加到x， n 的平方开方。根据刚刚讲的内机的定义，很容易可以看出它事实上就是什么，就是阿尔法和它自身内机的开方。好了，我们就称这个数为向量阿尔法的长度，或者叫做他的范式，那纪委，用范数的符号记为阿尔法的范数，那么很容易可以看出了这个范数，或者说这个长度也是二维及三维空间中一个向量长度的一种很自然的推广。从这个定义我们不难看出，一个向量的长度 n 为向量的长度，具有着如下几个简单的性质。第一个，对于任意的 n 维向量阿尔法来说，长度总是非 0 的，并且，如果一个向量的长度为0，那么该向量必然是 0 向量好。第二个，我们可以看出，我对一个向量阿尔法做一个值为 k 的一个数乘运算，那么这个数乘向量的长度就必然等于 k 的绝对值乘以阿尔法的场。第三个，我们说向量的长度满足三角不等式，NPS。好了，这是向量长度的几个简单性质，那么大家看出，对任意的非 0 的向量，一个向量的长度必然是大于 0 的。所以当阿尔法不等于 0 的时候，阿尔法不是 0 向量的时候，那么我给阿尔法用它的长度分之 1 这样一个数去做数乘，得到的这个向量必然与阿尔法是什么？是同向的一个向量，但是这个向量的长度我们容易看出它就会是1，所以我们称这个向量为阿尔法的单位化向量，或者简单的称为 Alpha 的单位化，这个是关于向量长度的个概念，以及它的几个简单的性质。

那么在三维的几何空间中，有了向量的长度，有了向量的内积，我们可以定义向量的夹角。简单的来回忆一下，我们说我如果有两个菲林的向量，阿尔法贝塔，阿尔法与贝塔的夹角，我们即为 c 塔的话，那么我们说这个阿尔法贝塔和 c 塔之间满足一个什么样的关系？我们知道了阿尔法与贝塔的内机就等于什么呢？就等于 Alpha 的长度， beta 的长度乘以库森斯塔。

在三维的几何空间中，我们这样定义了向量的夹角，那么事实上，根据 n 维向量的内积，他的科西不等式我们可以得到什么呢？大家看看。从这个关系式我们可以得到。我如果对于阿尔法贝塔都非 0 的时候，那么阿尔法贝塔非 0 的话，这两个值都是大于 0 的。我如果给它两边同时除以阿尔法的，那么阿尔法和阿尔法的内积就是它的平方，贝塔与贝塔的内积也就是它的平方，然后除过来以后，我如果开方，我们就会得到什么呢？我们就会得到这个值必然位于- 1 到 1 之间，所以类似于我们的三维几何空间中向量的夹角，我们可以根据这个表达式来定义两个 n 维向量的夹角，设Alpha， Beta 为任意两个非 0 的 n 维向量，我们就称角就等于cuisine， Alpha 的长度， beta 的长度分支 Alpha 与 beta 的内积。我们就称这样一个角，在 0 到 i 之间就唯一确定一个角度了，我们称这个角为，向量。

阿尔法与贝塔的夹角，N，称这个角为向量。阿尔法与贝塔的夹角。那么若两个向量阿尔法贝塔的内积为0，那么如果内积为 0 的话，那说明什么呢？说明科三 c 塔是0，换句话说， c 塔就取到二分之派。此时我们就称阿尔法与贝塔正交，或者叫垂直，称 Alpha 与 beta 正交或者垂直。那么特别的，如果阿尔法等于0，那么它与任何向量的内积都为0，所以我们也说 0 向量与任何向量正交，那么我们说了，如果两个向量的夹角是二分之派，我们就称这两个向量是垂直的。

那么现在大家考虑这样一个问题，给你一组向量，也就是说给你一个向量组，如果这个向量组中任何两个向量都正交，这时候我们就称这个向量组是两两正交。如果两两正交的话，这是一个向量组中向量之间的一种关系。那么对于向量组的向量组中向量的关系，我们还提到过什么先行相关和先行无关性，那么这两组概念之间有什么样的联系？我们说如果一个向量组两两正交，则这个向量组必然是线性无关。

若向量阿尔法1，阿尔法2、阿尔法 m 为两两正招的非营向量，则，向量组。

阿尔法1、阿尔法2、阿尔法 m 与线性无关，简单的说就是两两正招的非 0 向量组必然线性无关。下面我们来看一下证明，这说明什么？这说明对一组非零的向量组来说，两两正交这样的概念要强于线性五官，两两正交蕴含着线性五官，下面我们看证明，要证一个向量组，线性无关，那么由定义我们就不妨设。该向量组的一个线性组合为0，然后来证明该组合系数必须全为 0 就可以了。

好，我们设 K1 阿尔法 1 加 K2 阿尔法 2 加到 k m 阿尔法 m 等于0。那么来看，我们要证明每个系数都为0，怎么来证呢？有条件我们知道这些向量是两两正交的，所以我们要用到正交性，而正交性是什么？就是两两的内积为0。因此我们想到我用 Alpha i 对这个等式，两边的向量我们同时做内积。

so，那么来看， alpha i， k e， alpha e 加到 k i， alpha i 加到 k m，阿尔法m，那么这个内积必然等于什么呀？等于阿尔法 i 这个向量和 0 向量的内积。我们说任何一个向量和 0 向量的内积都是什么呀？数0，所以我们得到这样一个关系式，根据内机的线性，我们说这就等于 Alpha i 和K1， Alpha 1 的内机加上 Alpha i 一直加到 Alpha i 和KM， Alpha m 的内积，那么根据阿尔法 1 到阿尔法 m 这个向量组的两两正交性，那我们就知道这个左边的 m 项事实上只剩下一项可能的非零项，就是开 i 阿尔法 i 和他自身的那g。因为阿尔法 i 和其余的所有阿尔法 j 不等于 i 的那 g 都是0，所以我们左边只剩下这一项。

好了，又因为阿尔法 i 是非 0 的，有条件阿尔法 i 是非 0 的，所以阿尔法 i 和它自身的内积必然大于0，于是我们就得到数开爱一定是0，那这里如果 i 从 1 取遍所有的m，取到 1 取到 2 取到 m 的话，我们就得到这里的组合系数 K1 等于K2，一直等于 k m 全都等于0，也就说明了阿尔法1、阿尔法 2 到阿尔法 m 是线性无关的。

好，那么这里我们看到如果阿尔法 e 到 Alpha m 为两两正招的非零向量组，它必然线性无关，那大家注意，我们来问一个问题，我说两两正招的向量组必线性无关，对吗？也就是说大家一定要注意，我们这里要求所有的向量是非 0 的，那如果去掉非零性，那如果我这里加上一个零向量，我们知道零向量和任意向量都正交，其余的 m 减 1 个正交，再加上一个零向量，自然也是两两正交。但是很显然它是信息相关的，所以一定要注意这里的非 0 两个字很重要。

好了，我们说研究一个向量空间，最主要的是要讨论它的g，那如果一个向量空间的 g 满足两两正交的性质，我们就称为是正交机。所以我们下面来看这节的第2个问题。向量空间的标准正交机，N， SURE 向量空间， v 的一组机， Alpha 1， Alpha 2， Alpha m，两两正交，则称， Alpha 1、 Alpha 2 到 Alpha m 为 v 的一组标准正交机。一组正交机证遭机，做阿尔法 1 到阿尔法 m 为凉。正交的单位向量。

如果不但正交两两正交，而且是每一个长度都为1，那么我们就称，阿尔法 1 到阿尔法 m 为向量空间 v 的标准正交集。

标准证交集有时候我们也称为是规范集，举一个很简单的例子，大家看看，在 RN 中我们介绍过它的自然积，一部分 1 就是1，其余分量都取零。一部分 2 就第二个分量取1，其余都取0，知道 1 分n，不难看出，这组向量是两两正交，并且都是单位向量，所以这组自然积也是 RN 的一组标准正交机。

为什么要引入标准正交机？事实上大家看一下，在 R3 中我们有过，我们有直找坐标系，那么来考虑一下它的直角坐标系的三个坐标，i、j、 k 跟 RN 类似，他们构成了 R3 的一组标准证照机，那么用这一组标准证照机来刻画 R3 中的任何一个向量有什么样的特点？这个我们已经知道了，那么任何一个向量，Alpha，除以R3。

当我取这一组标准证交机 i j k 的时候，阿尔法的第一个分量恰好是阿尔法在爱上的投影，以此类推。第二个分量就是在街上的投影，第三个分量就是在 k 上的投影，那么事实上完全类似。在 RN 中用标准证照机来刻画一个向量，或者来表出一个向量的时候，也具有完全类似的性质。我们来看一个例子，设阿尔法1，阿尔法2，阿尔法，为 RN 的一组标准正交机，那么对于任意给定一个贝塔属于 r n，我们来求贝塔在这组标准正交基下的坐标。

好了，我们说给定一个空间的一组积以后，那么对于任意一个向量均可由这组积为一线性表出。所以我们就不妨设， beta 就等于 X1 阿尔法 1 加上X2，阿尔法 2 加到 x n 阿尔法n。现在我们来求这组系数 X1 X2 到 x n。

好了，那么我们来看由条件告诉我们什么呢？阿尔法 1 到阿尔法 n 是标准正招的，那我要求他的第二个系数，我们怎么办呀？根据标准正交，看到这个词就意识到什么呀？告诉你内积为0，两两相互正交，也就是说两两内积为0。所以用， Alpha i 与上市的两端这两个向量同时做内机，做内积，我们就可以得到。

那么 beta 和 Alpha i 的内积，它就等于 X1 Alpha 1 加到 x i，阿尔法 i 加一直加到 x n，阿尔法n，这是贝塔拉和阿尔法 i 的内集。好了，根据内机的先行性，我们知道这个线性组合和阿尔法的内基，我们可以一项一项拆开，它就等于 X1 乘以 Alpha 1 与 Alpha i 的内基一支加到 x n，乘以 Alpha n 与 Alpha i 的内基，再根据这一组基向量的两两正交性，我们得到其实这个右边只剩下 Alpha i，阿尔法 i 的那积。

再乘以 x i 好了，又因为是标准正交机，这就意味着阿尔法 i 和它自身的内积为1，它是单位向量，所以它就等于200。这个式子告诉我们什么呀，用标准正交机表示一个向量贝塔的话，那么第二个机项链 Alpha i 前面的系数恰好是贝塔与这个 Alpha i 的内积。那我当 i 从 1 取到 n 的话，我们就得到了所有的系数Alpha，X1，X2，一直到 x n。好了，这是我们要求出来它的系数。那么我如果把这个式子给它统一的表示一下，我可以表示，为什么呢？给定一组 g 阿尔法 1 到阿尔法 n 是标准正招的，那么任意一个贝塔一定可以表示成如下的形式，贝塔就等于贝塔和阿尔法 1 的内击。这个一定是用阿尔法 1 到阿尔法 n 表出时阿尔法 1 前面的系数，再加上贝塔阿尔法 i 的那一击，贝塔阿尔法 2 一直加到贝塔和阿尔法 n 的内机，这是系数倍的阿尔法n。好了，可见用标准证招机来表出一个给定向量的时候，它的坐标非常容易表出。