大家来，下午好，我是邱老师，欢迎来到高三一轮复习，哎，第一个暑假长期班课的第一讲课，OK吧，然后呢，咱们今天，嗯，我先花两分钟的时间稍微的解读一下咱们今年的一个情况，稍微解读一下啊。稍微解读OK了，呃，第一个字呢，我不知道大家前面有没有看第一个字，前面两讲有没有看第一个期末负一附属实战刷题两个小时直播课加十，呃，半个小时的视频回放，大家看了吗？十年高考真题的一个实战刷题附属实大刷题，OK吧，然后呢，咱们期末复习二，因为龙哥已经把它归到了高三一复习里边，本来呢，那两讲是随便讲讲题就可以了，但是龙哥给你透彻的讲了不等式和基本不等式，大家看了吗？前面一定要利用好那两节课，因为那两节课太重要了，太重了，好吧，然后呢，那么我们今天的压力就会小一点，因为我们不等式。

整整花了两个半小时讲解，哎，然后呢，今天我们就是集合和简易逻辑的实量刷节，说清楚了吗？本来没有简易逻辑这一块我给你讲了好吧，哎，未来呢，咱们明天会讲定域值域没有求解析式，龙哥额外给你补充了什么叫全网最细，我龙哥OK第下一讲子对函数里边没有幂函数，龙哥额外给你讲了OK了，下一讲单调性和旧性，没有周期性和对称性，龙哥给你讲了OK拉啊等等，三角函数解三角形，以及我们的后面的它，然后呢，以及我们秋季的导数啊，布拉布拉布拉不拉拉不拉不拉，立体几何圆锥曲线，我就告诉大家全网最近，我龙哥做到位就可以了好不好？人在做天在看龙哥，看龙哥的就完完完犊子哈，呃，就看龙哥就得了，然后呢，咱们的课程是变成两个小时的直播，两个小时的直播和半个小时的视频回放，也就是咱们每一节课上俩小。

直播之后还有半个小时的视频，你要看那个课业，那个课我看说清楚了吗？各位好吧。然后呢，那我话不多说，其他就不多说了，最后再说一句啊各位，我给大家说一句话，然后呢，虽然你们有书，虽然你们龙哥我们发书了，把书扔到一边去，OK吗？全程的听龙哥的讲课，然后呢，看龙哥课件上的东西，然后再说一句话，全程记录笔记，你就是一类题，你可以记两到三个题，两到三个题，好吧，哎，就说这么多，开干。今天我们讲的是，哎，高三一轮复习资。深耕扎实基础，龙哥讲话了啊，高三一轮复习就是基础不牢，地动山摇，高三一轮复习是最后一把机会牢啊。高三一轮复习，总共24次大课。24次大课OK吧，今天我们来到第三次大课第三讲集合与嫦娥用语OK吧，来，咱们开吧笔记本。

啊，准备好的记一下。集合和我们前面讲讲什么讲复数一样，也是高考必考的，也是你必须拿分的，但是龙哥要给你讲一讲，因为有些题你真的不一定能拿两分。好吧，集合按照高考考评比较高的，我们先来看第一个。第一个叫什么来着，哎，集合的运算。记笔记，兄弟们啊。集合的运算呢，分为三大类，第一个叫交集。交A交B，说它俩公共的部分就OK了呀，公共的部分。没图来表示一下这假设的A，这假设是B，那么A交B的意思就是说，哦，它俩公共的部分来第二一个并集。AB。

点。什么叫并集呢？说A上B啊，ABB的意思就是。它们全部包含的内容，哎，普及。我再说一句话，2023年高考，听清2023年高考。2023年高考也考这个交并补，能听懂吗？明年在高考考场上建造集合这道题的时候，依然考的是交并补的集合运算，我能说清楚吗？我告诉你了啊，明天就考这个好吧，这是全体，这叫补集。啊A的补集，那么就是。剩下的部分。啊，A和A的普及相当于一个是白天，一个是黑夜，它俩是相互的不一样的，完全不一样的，不见面的两个东西。好吧，写一下，记一下啊，我知道你很厉害。但是你要给龙哥寄。第二个叫什么来着，我们叫做。

的元素与集合间的关系。第三个和它一对比过来的，那就是集合与集合间的关系。兄弟们，把笔总被写，我都写了，你凭啥不写？你写不写，你写不写，你写不写好了吗？哎，那么元素与集合间的关系呢？我们就两类，一类叫属于，一类就不属于。OK吧，哎，他在不在他里边他。啊，在还是不在一块了啊，如果集合与集合间关系呢，我们叫做一个集合是B的子集，哎，一一个集合可能是它的增子集，哎，也有可能是它两个集合相等好了吗。OK了，哎，这是非常简单的集合，基本先把这些知道。然后呢？

写几个注意事项。事项。注意事项，注意事项的第一个是什么来着，就是我们常考集合。常考的。会考出来的第一个叫的是Z。XYZ的ZXYZ的Z啊Z，我一般写中间加一个。它是什么玩意儿呢？Z整整数。OK了，整数集合。什么叫整数集呢？0123负一负二负三负四负五啊，这都是负五负三。一零。OK吧，012不拉不拉的，这都是说清楚了吗？哎，整数集有正有负，有001234567，负一负二。

他负五负六负七，哎，好第二一个。常考的N。N叫的是自然数集，自然数集那个英文单词大家学过吗？应该叫什么？Nature是什么玩意儿的啊？我不知道，不会发现自然数集。这个自然数集它和谁对应的呢？它就和的是我们的，哎，N星，或者是叫N加。那啥时候星放在上面，啥时候放在下面呢？我们叫天上是星星加在地下，所以星星在上面加在地下，好吧，这个叫正整数集。这个几这几个是常考的，其他的我就不多说了，什么Q啊R啊，那些不常考我不说了啊，正整数高三的，咱们有高三的任务。这什么？举个例子啊，它就包含0123布拉拉，它不包含零。

能听懂。这就不含零。上面这个。好了，写上了吗？写上了吗？兄弟，兄弟啊，写上了。写上，写上，写上，写上，写上，咱们开始干题了。就是一旦考出N来，它一定和N加对比的。好吧，考个R我都不写那玩意，写那玩意没有任何价值和意义。然后呢，再写个注意的，就是我们再写一条，你比如说再写个三吧。啥玩意儿呢，就是我们的，你要注意啊，描述法来描述的话。比如说XX大于等于二小于七。他要用区间的形式来表示，注意啊，它表示的是左臂右开这样的形式区间和集合。

哎，集合可以用区间的形式表示，说清楚了吧，各位。容易错的，我给大家写一个易错的放到这儿来。易错的，你听清什么易错呢？我写成这样。二和一二和一不对。一和二吧。这个是出题人可能会给你设置的陷阱和坑，为什么有些人会认为这是个点坐标？啊，这是个点坐标错了，这是个区间，好吧，你在集合这认为这是一个区间啊，它翻译出来叫做是X大于一小于二，我能说明白吗。X大于一小于二。你得认识啊，括号左边开，右边开，开区间一到二，这就是X大于小于二，它写成集合的形式，就是描述法，就是这样的一个，这是区间的形式，说清楚吧，易错，把这个记得啊，左边是一，右边是二，那么就X杠。

X大于小于，它俩一个意思，听懂了吗？懂得来个懂，懂的来个懂，懂的来个懂。所有人草稿纸准备一下，咱们开始实战干停，让你爽歪歪啊，让你题目清晰已清晰。我把它擦了啊，我放不下他了。一会儿拿题给大家说话吧。发个雪包红包。鼓舞呀，四期。以知鼓励已知鼓鼓励。哦。来，所有人草稿纸开席啊，龙哥带着大家，咱们我要明确的告诉大家一个事儿，就是高考能考成什么个鬼玩意儿啊，高考在这种题里面，它到底是考成啥样的？咱们带着大家把202年刚刚考过的这些题给大家看一下好不好？

所有人草稿纸准备，所有人草稿纸准备，今天看看大家有多少人能能有才，该干出个十几年来好不好来。第一个题，2022年全国乙卷的一个文科题，先来一道文科题感受一下。啊说M集合是它，N集合是它M焦N等于几来所有人做一下啊。你们一边做着，我一边给大家算的啊，它是X大于负一小于六，那我们说这两个公共的部分就是谁在它中间啊。OK吧，谁在他中间啊？哎，那么在它中间的是不是二在不在在啊，二是不是大于负一小于六四在不在啊，四也在，六在不在啊，六不在，它不能等于六，它小于六八不在，十不在，所以它老交集时二和四我说清楚了吗？为什么选B的这么多Y。六在啊，六能在吗？这小于六没有等于六孩子好不好啊？很简单，先来两文。

课题感受一下，我们今天把2022年的题基本刷完，给。过了能过了吧，速度啊速度速度速度OK，简单简单已简单，清晰清晰清晰清爽清爽已清爽，全网最细，我龙哥来了兄弟哎。看这一题甲卷文科题啊，先来看这个题的甲卷文科题，设集合A。负二，负1012集合BX大于等于零小于5/2，则A交B交集公共部分选择什么做一下。啊，那你就看呗，它俩公共的部分是不是啊，负二在它里边吗？不在负一在它里边吗？不在零在吗？在零在啊大于零零大于等于零啊一在在在二在在在5/2是2.5吧，我的兄弟，我的好兄弟们这。

啊，所以零也在，一也在，二也在，012都在，所以选择AOK。草稿纸咱们迅速快捷一点啊，草稿纸迅速而又快捷一点，好吧，来过了啊，这题我给大家来一个我认为还是非常非常好的一道题，给大家看一下啊，前两天我记得有一个人在网上有有个有个同学在上评价龙哥，说龙哥讲的不是戏吗？我妈都能听懂，我龙哥还讲的不够细啊，还有个孩子说我就听龙哥的课，我都136，那厉害绝。来看这道题，2022年上海卷。春季高考真题。集合A集合BA交BA来等于几？有没有人，有没有人说龙哥交BA，有没有人想的这个集啊，有没有想做空集啊，空集是不是。有没有想填空姐的？

有没有？有没有想填空集的？有没有有吧，龙哥，空集空集你就完犊子了，你看我说这是个好题，你还不信对吧？这是什么？龙哥，这是负一和二啊，这是一和三，它俩没有交集啊，你你你你你翻译一下，这是区间的形式，兄弟。区间，区间翻译过来叫XX大于负一小于二，你看它的隐藏，这个这个这个隐藏的好深奥，是不是，哎哟，这个玩意儿，这个人。好重啊，来看它XX大于一小于三来，现在明白了吗？现在明白了吗？现在明白了吗？啊，所以你不能填空解它呢，表示的时候负一到二这个题是不是好题，兄弟们是不是好题啊。啊，负一到二这个呢，一到三一到三。

哎，他俩的公共部分不就是这一坨，那不就是X大于一小于二吗？哎，你可以写成这个样子啊。也可以写成这样，也可以写成诶左开右开一到二能听懂吗？这个答案有的同学们哥，这个答案看完看不懂，为什么看不懂，这个点坐标一二，它看成点坐标了，它不是，它是集合兄弟集合。啊集合我们在表示的时候，你在表示的时候，你要不然来个中括号对吧，你要不然来个来个什么，来个区间OK吧，区间或者中括号你得认啊，你得认识它是不是好提不好提。是不是好提？全网最名不虚传是不是兄弟？成功了啊。来下一个2022年上海卷高考真题，上海卷呢，是不是说咱们从本来六月份高考，但是推迟了一个月，变成七月份高考考完了啊看一下。看你会不会啊。

即可。集合B，这是什么玩意儿？A交B，这是什么玩意儿？集合A，这是区间，因为什么你认识了这有个中括号是不是？集合BZ是个什么东西，还能记得吗？ZZZ啊，这玩意儿叫Z整整整整，它叫整数，整数代表啥呀？哎，01234567对吧，负一负二负三负负五六负七，哎，都表示OK吧，所以呢，这个玩意儿翻译出来叫什么？X大于等于负一小于二，然后呢，它是整数，它俩交集等于几，做一下。选择啥？没事啊，今天咱们的时间完全来得及，因为什么呢？因为咱们把不等式那一块前面已经讲完了。然后呢，咱们今天加了一个常用逻辑用语，虽然，但是也时间完全来得及。好吧。啊，龙哥今天的目的我要告诉大家。

合同龙哥，集合能不能给我讲的很难，不能，因为高考考的很简单很简单，没有一个难题好吗？所以你要知道啥时候考难啥时候考简单集合也可以考的很难，但是他绝对不会考。说清楚吧，所以我们来看啊，它说整数，那么负一在不在在。零在不在，在一在不在，在二在不在不在三不在别的不在就是负101选择B做对了吗？做对了吗？这叫焦急，焦急齐活，我们再来看并急啊，交并补。龙哥讲了，明年2023年高考也必然会考焦急并急补及99%的考，说清楚了吧？放心，老铁他这这这肯定的，这手拿把掐的。来看2022年浙江高考题，浙江高考题浙江卷明年要并到我们新高考一卷里边来，对不对？一样那玩意浙江卷今年说难，来看一下，它集合A等于，它集合B等于。

那AB并B并集什么什么怎么整，并集怎么整，各位选择怎么什么叫并集啊哎。一级怎么走？龙哥要让大家知道高考大概考成什么样，有的同学龙哥我一定能做，我也不知道未来高考会考难考简单，你这这这这能行吗？这种题只考小题，只考小题好吧，不可能考大题，一有吗有，二有吗？有，我们集合具有互一性，就你两个二，也写成一个二，但是他考试也没有出这样的题啊，所以叫A并B，叫做是1246 OK，可以吧。1246齐活啊，这叫并给我们再来看补给啊，补给补给补给补给补给补给来了。看到什么叫补集二。

二二年全国已卷高考真题理科题刚才讲了，文科题对应的理科题来了，全题优满足集合，MM的补集是它则一三则他怎么地了？这题选择什么？各位，这题很简单，太简单了，这种题根本不配出，要是我把这个高考出题拉过来，我都得批评他这做太简单，没意思，没意思兄。啊，补齐怎么说。啊，他说M集M集的补集，你看啊，补集和原来这个集合，它俩是不是互为相反的，对不对，有一三，那么剩下的就是它嘛，是不是剩下的就是M245呀。这是你会发现M和M的补，它两个就是占据了全集。我给大家在这儿说一句话啊，一个集合和它的补集是占据了全集的，一个补集和它集合自己。

占据了整个全集。OK吧，哎，然后那么他问你二属不属于他呀，三属不属于他呀，四属属于。然二属于。对不对？三属于嘛，显然三不属于啊四呢，是不是四叫的时哎属于啊，四在里边属于，五在呢属于，所以这都是错的。A对了，OK吗？龙哥为什么说出题人我过来都得，我都得过来。说它两了太简单了，你这个叫元素与集合间的关系，我们元素与集合间的关系一定要和集合与集合间的关系一起考吧，这个题是不是你改变一下啊，怎么改变，我们把第4D选项改成对吧？哎，五的集合，哎，那么属于M。是不是我改成这样，这对吗？这对吗？啊，这对吗？哎。

你比如说是不是。啊，我们再来啊，我们把。我们把。另外一个，你比如说。别的嘎嘎往过一放，我能说明白吗，各位。啊，你比如说B选项我改成什么？哎三哎，你获得你获得四的集合。怎么怎么地了，我们就是我们是要有一个。三个集合。是它的子集对吗？不对吧，是不是如果集合与集合之间关系就包含于或者真包含于，你不能用属于，属于是元素与集合间的关系。集合与集合关系，就是它是它的子集还是真子集，我能说明白吗啊。说明白了吗？能听懂吗？所以出题高考出题还是简单，还是简单了没意思。是不是如果你说有个D选项，这样的五的集合属于它？

你说是不是会有错，是不是？如果这个题改成了五的集合属于M是不会有错，你认不认可，认不认可？所以我要给大家说清楚。哎，我们元素。与集合间的关系。就两个，一个叫属于，一个就不属于啊，集合与集合间的关系，你要注意它不能用属于和不属于了，它要的是子集增子集还是相等，说清楚了吗？啊，什么时候是集合呀，你加个中括号，这就变成了集合。这就变成集合或者是空集，这也能表集合，或者你说写成。对吧，区间连续性的区间那种也可以说清楚了吗？全网最细，我龙哥以后见到龙哥讲这么细的时候，给龙哥打一个全网最细，我龙哥我们就是要讲的最详细，就是要把这个东西讲的细一点，细细细细细细细细细细细。

好吧，过了啊。来再来啊，所以我我认为还是简单。看2022年北京卷的高考题。说全集四个它集合A4个它它的补集怎么来，补集怎么来，注意一点，慢一点看这个题，慢一点看这个题啊，这题真会有人错啊，看一下啊，选择啥自己登一下。全集是他负三到三。慢一点啊，这个题会错啊。A呢，叫的是X大于负二大于。小于等于一。哎，它的补集。补是什么玩意儿，剩下的这一段和这一段吧。是吧，选择什么各位。

认真一点啊，到底是B还是D会有人错啊，这个题会有人错，会导致你连断了啊。连断了吧，有人连断了吗？看一下啊。它的补集叫什么，你包含那个负二到一，它反过来就是不包含负二到一之间呗，那它是不是就是X大于负三小于负二，那到底有没有等于号，我最后再说那个特殊点好吧，和谁大于一小于三，那到底有没有一，有没有三呢？我们得看一下。是不是，哎，你看啊，A集合包含一了，A集合包含一了。我的补集就不能包含一，所以我是空心的大于一啊，A集合是大于负二，A集合没有负二，那我的补集就要包含负二，我能说明白吗，各位。

啊，负三呢，本来也不包含，全体都不包含，你包含啥，小于三的也小于，所以答案就是这个玩意儿，我能说明白吗，各位。所以答案就是什么，哎，负三左开右闭，闭上一个左开右开，选择4D来有点感觉了吗。明白了吗？明白了，各们各位明白了吗？为什么说哎，我们要选择D，不选择B，为什么它的补集是能取到一还是取不到一的，为什么？明白了吗？明白了吗？啊啊，就是我们先把整体写下来，到底包不包含，我们就看特殊点OK吧，他说它是小于等于一的，你既然A是包含一，那么A的补集就不能包含，因为一个白天一个黑夜，白天不懂夜的，黑夜里也不。

懂白天的量是不是。好吗？啊，你呢，没有负二，你是大于负二，没有等于，那所以我的补给就是包含负二了。所以齐活好了，在这里边大家明白了啊，选择4D，在这里边龙哥再说一句话，龙哥什么时候能用B，什么时候不能用B，我讲那的东西并且只有什么时候不能用，在高中数学考试过程中，在高考整个考试过程中，并集只有一个地方不能用，就是求单调递增区间，求单调递减区间的候，就是求单调性的时候不要用并集，建议尽量不要用并集，好吧，单调递增区间你自己写到本上我就不给你写了。只有在求单调递增区间，单调递减区间的时候，不要用并集，要用和或者是逗号，记得了吗？记得了吗？龙哥，啥是单调呀，咱们后面会讲，你先别着急，我先给你说一句。我先给你补一。

对，我补完最久，我就补的细，我就补的全，你知道你评论区应该打一句什么了吗？知道了吗？来过了啊。A班和A加班有啥区别吗？A加班没有，这节课就。A加班都没有集合这节课。听了好过了啊，所以呢，A加八会比这个讲太快太多了，就是龙哥会给你这些高考题，A加班没有默认都会默认，A加班的学生都会了，根本不需要。所以我告诉大家，其实提升班我给你讲个例子哈，在提升班里边儿，我有一个孩子高考考了640多分，六百六百四十一还是614呢，我不记得了，再提了吗？人家就说一句话，龙哥，我就是想扎实基础，我就是好想夯实基础，我就是想把我基础打的牢牢的，我数学考149，我依然要在天上待着。

来看这题，2022年我们的新高考一卷，我就挨着给你说了啊，挨着给你说了啊，看这题集合M等于它，集合N等于它，那么M交N等于什么交集？求个不等式，先看谁软柿子，先挑软柿子捏对不对？这肯定的，谁好欺负，欺负谁是不是？N好看吧，3X大于等于一，那么X大于等于1/3，这能求出来吧？奥特曼。来根号X小于四怎么办？这个会求吗？带根号的根号X小于四，各位。根号X小于四，借到根号了，各位，我首先知道你只要借到根号了，根号下是不是应该是大于零的，各位各位，这个应该初中都学过了吧。根号X，那么根号下面的东西都是大于等于零的，对不对。

哎，那么两边给个平方，两边给个平方。是不是就是X小于16，然后呢，自带大于等于零，这个你心中要有数啊，其实就相当于我们之前讲函数的时候，龙哥讲了求函数第一步先求定义域嘛，是不是XX大于等于零小于16，这能做到吧，这叫M。这叫NM是他，N是他，Abcd选哪个自己选一下，Abcd选哪个？纠结太简单了，2022年新高考一卷高考升，这不是送分题吗？难道这难道不是送分题吗？啊，我讲的是给你讲讲全啊，就是龙哥没有那个大于等于我都能算，可以算，但是我说它自带那个性质，你必须知道。所以呢，这是第一步，这是第二步，然后呢，他俩一交就把它交出来了，哎，这叫零到16，哎，左边是B，右边是K。哎，然后呢，这个货呢，它是大于。

就等于1/3的，哎。好吧。我真的要给大家说一下，就是你基础一定要牢。就是未来你高考考不了高分，大概率不是因为你难题做不出来，是因为你本来会得的分，能得的分你做错了。好不好来看这一题啊，这一题所以答案是1/3，左边B右边开啊写成区间的形式，也可以写成集合的形式，选择D做对了吗？OK吗？对了吧。好吧，过了啊。来下一个2022年新高考二卷高考真题。新高考二卷高考真题这个题呢，它多了个啥呢，它也没多啥，它就多了个不等式的解法，不等式的解法在咱们上一讲课里边，就是咱们在期末复习一和期末复习二。

本来那两节课就是应该随便讲，但是龙哥说了啊，就那两节课非常重要，你得看回放不等式，这个解法会把X减一。它的绝对值小于等于一，也就它小于等于大于等于负一。OK吗？啊，就是一个绝对值小于等于一个三，那么绝对值就应该大于等于，呃，负三小于等于三里边这个东西，如果这个或大于等于二，随便举例子，那么它就应该是大于等于二，或者是它小于等于负二。好吧，给大家举点例子，写点干货啊，会了吧？这题选啥？如果你这么一干，你的绝对值不等式会了。X大于等于零小于等于二。B有了A和B的交集，选择什么？这还用我说吗？这还用我说吗？太简单了吧，简单不简单，各位大家有没有了解。

考高考就这玩意儿，不仅是2022年2021年2020年2019年18年17年6月就都在都在。啊，只是呢。我给要说一下，一会要给讲一个万无一失啊。来。A集合和B集合，那么负一在不在不在，一在不在，在二在不在，在四在不在不在，所以是一二选择B说清楚了吗？好吧。来来来来。再来一个，再来一个，再来最后一个。咱们这就相当于把。我们。202年全国各地的就基本上都讲完了啊，基本上99.9%了，来看这个。2022年。

全国卷高考真题理科卷文科刚才说了看理科卷，理科卷难吗？也不难，它就是多了一个你初中的十字交叉相乘法。啊，实在不会了对吧，你必须会啊，这玩意儿识字教他相乘法，不会的找冯老师要视频，我哥都录好的啊。我额外都补充好了，这个能求吗？X方减4X加三一和三。对吧，这拆成X和X。再要出要负四负一负三。负3X和负X，负4X对了，所以它是X减一，括起来乘以X减三等于零，哎，所以推出来X等于一或者X等于三啊，这没问题。什么叫等于一或等于三呢？等于或，那都是我们的，所以第一步AB求出来的它两个数，一个一一个三。这儿能听懂吗？B求出来两个答案，一个一一个三，如果你说龙哥我十字教他相乘法，不会的，找辅导老师下。

去一定要找付老师要一下视频，你说我我识字教他枪的话，不会给我个视频好吧。B有了，那么看A。A是负一和二，那么第二步我们AB会算吗？负一。123哎，AB并B的补集，你这玩意儿不就是一个交并补的运算吗？来。这个题选择什么啊？这个题考在了第三题的位置上，我的天呀，这这简直是你开玩笑，国际玩笑，这玩意儿你这这这。别，大家千万别害羞啊，说龙哥，哎呀，我不好意思，我就是十字交叉香的话，我不会，我不好意思，要有啥不好意思啊，高三了，兄弟们，你现在了就是把什么所谓的脸面给我扔到一边去，你能做的就是。

学就是我学，不耻下问，去要去学去搞好吧，你一定是要给他学出个人样来的，明年等你高考考出一个好成绩来的时候，没有人会笑话你，如果你考不出好成绩来的时候，人们才会笑话你。好吧，哎，如果你说龙科我当时怎么怎么学的，考好了你都能给别人讲故事啊，所以他的普局你看负一没有啊，他有了他就没有嘛，一没有二三不能有了，所以只剩下负二和零，负二和零选择4D做对了吗？对了，2022年全部的高考真题说完了，这个就是我们的一个高考一个难度，这就是我们高考的一个难度。说清楚了吗？啊，了解高考，你明白高考出题人在这个题里边会出什么难度，你才能够去去去去知道我们说未来我们朝哪个方向去学，好吧，哎，一定别学偏了，一定没有方向。

学你是完犊子的，看一下书上这个题，简简单单手拿把枪，哎，老母猪吃大葱，轻轻松松说，首先B的补及先算B的补集吧，B的补集能算吗？太简单了啊，这就简单的不行了，B的补给不能要二，不能要三，不能用四，所以剩下156。跟上龙哥自己做B的补给来了，兄弟A呢？他说第二步叫A交B的补给。他俩公共你这这你你这你这这你。他和他相公共的部分选择什么，这太简单了，2021年呢，新高考二卷啊，没啥说的，太简单太简单，没意思，没意思。我这是为，所以我讲一下，不是我讲。136和156，那么他俩公共的是1166。所以一。

过了啊，来看下一个。下一步现在几年了？兄弟们现在几年了？现在你们几年了？几年了？来看书上这个题。集合A等于它，集合B等于它，A交B压一个啊2023年高考考一个这样的一个方向的一个题啊，压一个啊来做一下这个题，做一下这个题啊。我首先。所有人提示一下啊，提示一下。提示一下，先别着急，兄弟们先提示一下啊，看这里。提示啊，我在这给你绕温提示啊，哎呦，我去温馨提示啊，兄弟们，温馨提示好了，做题吧，啊，我温馨提示完了啊，你要是连不上了，不怪我啊。

啊，我都提示完了。嗯，说吧。兄弟们，错了的是不是哪儿错了？现在明白了吗？来，我开始讲话了啊，讲话了。来这个题呢，如果说你要是在考场上，我告诉大家，如果你这种题会错，是真的是你基础不牢，是真的没有人跟你强调过，所以你会错。未来你说龙哥我高考完了，哎呀，我跟着龙哥学一年。

学到高考最后的时候，我上上考场了，我做完了，我我估分估了148，最后考出来，你考了132。那十分哪去了？就这题你估的，你以为你对了，其实你做错了啊，为什么？这呢是X大于一小于五，这儿呢是X大于二小于六，你没有知道出题人往哪给你设计，你看啊，人家设计了一个X属于NN是什么意思？N是自然数呀，自然数是包含零的呀，这个玩意是01234567 N星和N加412345不含零的，能听懂吧？N和N加它俩的区别是一个含磷，一个不含零，OK吗？那么既然是这样的话，那么A选项就告诉我们的意思，其实是这么个玩意。啊，它是一个123401234567的这种东西，那么又大于二六小于六的，那就是345，我能说明白吗。现在明白你为啥错了吗？现在为啥？明白你为啥错了吗？明白了。

干吗，兄弟们？啊。来第二一个B说啊，我呢。得大于小于五。好了，他俩公共的部分三在里边吗？三在。四在里边吗？四在，五在，五不在，因为五是小于五不等于五，所以五不在。所以他俩的答案。三和四来。信不信？兄弟们，信不信谁不行？过了啊。好了。咱们再来看。再来往下研究，再来往深入拔一下，就是我们主流的考法是前面的，那么不主流的考法，龙哥说了，我要以防你万一。啊，我认为高考应该给你设个坑。

说高考，这都不是个坑，那高考天天说难天天，每年高考完了都有人说难。每年高考都说难这玩意儿，我怎么感觉他不够难呢？没意思啊，没意思，好吧，来看下一个。咱们再往高拔拔难度啊，再看看历年的高考题，再讲集合，这有没有什么一些小的东西啊，有没有一些有意思的东西，看这题。看这题。啊，2017年全国三卷高考真题说集合A长这样，集合B长这样，A交B，我们我给大家画个图，你认识一下A集合是啥玩意儿啊，我画个图啊。A，集合是个什么玩意儿？告诉我，大声的告诉我，兄弟姐妹们。它叫的是X方加Y方等于一，这是不是以零零为圆心，以一为半径的一个圆啊？能听懂吗？

这是一个圆，人家前面说的不是X，怎么怎么地不是Y，怎么的是XY，这是不是我们说在圆上的一个点坐标，它可以表示这个玩意，它可以表示这个，它可以表示这个，可以表示这个，就是圆上任意点的坐标都可以表示用它。说明白了吗？圆上任一点坐标，它表示的就是这个白，这个能听懂吗？X方加Y方等于1x.Y它的意思就是圆上面的圆上面的任意点坐标OK，这是集合A。集合B说了什么没有？Y等于XY等于X，哎呀，我这个发音真的是一样。不了，Y等于X，这是不是一三限的角平分线，就初中学的是吧？是不是长这样？能听懂吗？Y等于X，那么这个XY代表的就是在。

Y等于X这条直线上的点坐标。说清楚了吗？那么各位兄弟姐妹们告诉我，这个圆上的点坐标和这条直线上的点坐标有几个交点？就这个意思，有几个交点。好不好？有几个？有几个来了啊？这是不是相交了一个兄弟，这是不相交了一个，是不是只有这两个？是不是只有这两个没了？圆头跟圆心是圆心是什么？圆圆上那圆内的不包含，好吧，所以只有两个，那么就是两个。啊，龙哥都能告诉大家。我们都能求出来这两点坐标是谁，能求吗？它不是X方加Y方等于一吗？

它不是Y等于X吗？所以就是X方加Y等于XX方等于一，所以2X方等于一，所以X方等于1/2，所以X等于谁？正负根号1/2能不能听懂？当X等于。根号1/2的时候，正的根号1/2的时候。那么Y是不是等于X也等于根号1/2？Y等于负的时候。那X也等于对不对？XY都等于什么？说清楚了吗？OK吧，哎，当然了，这个根号1/2是不是二分之根号二啊，各位，这能出来吧，你看龙哥给你写的多细，我真的是太细了，我都没敢给你跳步，我真的太细，全网最细，我龙哥这话绝对是没得说啊，全网最细，我龙哥这玩意儿绝对没得说。

哦，所以答案是你看啊，他们这一个答案是二分的根号二和二分的根号二一个是负的二分之根号二和负的二分的根号二。OK吧，哎，所以呢，那你要是说AB相交，我可以给他写，我把字差了啊，求解这个过程差了没有什么价值，也没让你求它，也没让你求啊，我只是想给大家讲的更加透彻这个题，这个题必须透彻一点啊，透彻心扉啊，A交B。它就是什么呢？两个点坐标，一个点坐标叫二分的根号二和二分的根号二，这是不是一个元素？这是不是一个元素？还有另外一个角负的二分之根二和负的二分之根二，是不是说它俩交完集只有两个元素，说明白了吗？XY作为一个整体的元素的，这是个点坐标。啊，那么这个时候为什么不用不表示区间了它。

外面带了个中括号。好吧。所以两元素清晰，清爽刺激，给龙哥打出对应的你的字来，清晰清爽带刺激，给我打出来。清晰，清爽带刺激，给我打出来。来，再看一题。看这题。来到高三模拟考题啊，没考过，但是龙哥希望你要会一些啊，在这儿呢，记一句话，我们叫的是字母，都是浮云。未来我们明天学的时候也是这句话，字母都是浮云。OK吧，啥意思呢？来，我们读一下题啊。

对于N来说呢，它是X大于负一小于二小于等于二的，对于这边来说呢，人家求的是五，不是求X，注意了吗？求的是五，也就是算Y的值域是多少？各位我问问大家负X方怎么的X方？是不是大于等于零，平方是大于等于零，负X方是不是小于等于零，这能听懂吗？所以Y等于负X方，它就是小于等于零的。所以Y的取值范围是小于等于零，能听懂吗？那么他说用了个字母Y去表示，他说哎，我们的字母是Y等于零，你是X大于负一小于等于二，我们没有交集，不是，它表示的意思是我们只能取到负无穷到零这一段。这就是区间的形式，它就表示这个意思，它表示什么来着，负一到二这个范围，它问你这两个有没有交集。

字母都浮于你，用T来表示，也可以用M来表示，也可以用X用Y，用你愿用什么用什么，我们只看这个集合里边右这个，左边杠左这个东西是什么，我们只认杠左。说清了吗？哎，集合里边的杠左是什么意思，我们就认他不认别的。好吧。再来强调一遍啊。我们只认杠左。它字母是浮云，它最后表示的是什么范围？好吧，所以它俩的交集我给大家说一下啊，负无穷到零，负无穷到零讲的是这一段话。OK吧，你呢？负一到二讲的是这一段话。所以它俩的交集就这一块。左边开右边B，我能说明白吗，各位。

负一到零。好了，字母都是浮云，字母都是浮云啊，字母都是浮云。你这化成了T型吗？行啊，你这画成M型型无所谓哈，好了，再过龙哥呢给大家想说一下，下面一个我认为是明年高考是要考出来的一个东西啊，嗯，未来大家听清。高考可能会考出来什么呢？就是你保底，实在你做不出来的时候，列举看好这个题。看这题啊，2020年全国三个高考成绩。啊，说你看这个题啊。保底给龙哥列举，用小学的手法，你在考试，在考场上，你只要能。

没有人管你做出来的。选填小题，没有人管你咋做出来的，好吧，你看这个题，这个题是不是有一个N心，各位能认识吗？N星代表啥意思知道吗？X和Y都属于N星，它的意思就是说它只能取123456789，不带零，是不是不带零的整数啊，不带零的正整数对不对？咱就不带零的，不带零的自然数是不是。好了，哎，那么所以呢，Y还得大于等于X，它俩相交，并且X加Y还得等于八。列举出来，列出来给我咋列？看啊，几加几等于八，并且还得是。1234567，你看啊。八加零行吗？不行，八加零不行，因为有零了，人家不能包含零，那么七加一是不是行？

七加一等于八。X等于七，Y等于一。是不是六加二是不是五加三是不是四加四是不是。三加五是不是，二加六是不是，一加七是不是没了？就这几个，我能说明白吗？就这几个，但是人家还有个要求，Y得大于等于XY得大于等于X7加一一不行，六加二二没有大于五加不行，四加四行吗？行，五加三行吗？行？二加六行吗？行，一加七行吗？行？所以真正形容词最适合我能说明白吗？列举出来。出来在考场上，龙哥，高考集合考难了怎么办？考难了难道你不做题了？难道你不做题了？有的同学，龙哥有没有可能？这个数很大，不可能，绝不可能。绝不可能说清楚吧？

就哪怕可能他这出来个100，你是不是写着写着也能找出规律来了是不是。好了吧，所以是四个啊。行吗？啊，这个题如果你要画图呀什么的，你可能还不太OK。我看吗？同学说龙哥，这前面不应该是A的范围，B不应该是后面的范围吗？人家问的是A和B，啥叫A且B，就是既满足A又满足B，同时满足A，同时还得满足B，我能说明白吗？看看，同时满足A，同时满足B，同时以同同以同来下一个。你看啊，龙哥再给你找一道老高考题，2013年的广西高考题。OK吧？说。集合A。

A集合BM等于什么来着？他说的是X，最后怎么接了？X等于什么？A加B，那A是谁？A是属于大A的，B是属于大B的，那么M中的元素的个数是什么玩意儿？这会做吧。完犊子了，来看吧，A加B，那么A是属于大A的，那么你就列呗，当A等于一的时候，那么B等于几？B可以取四，B也可以取五。当A等于二的时候，B可以取四，B可以取五。当A等于三的时候，它可以取出，它可以就这个，哇，没了吧，没了吧，没了吧。来，我们说了，集合有几个元素，那M有几个元素，自己写吧，五是不是，六是不是，是七是不是，八是不是。

没了相同的，我们只写一次对吧，我们元素具有互性，所以他说M里边有几个元素，数一下一个两个，三个，四个，是不是有四个。能挂吗？能够吗？M中元素的个数总共有四个啊。啊，集合具有互异性，我们不能出现相同的，相同的里边只写一个，相同里边只写一个，说清楚了吧。好了吧。来，再来一个题，再来上一个难度题，看看大家能不能撑得住啊，兄弟们，再来一个题，看看大家能能撑得住，看这题。2018年新高考二卷理科题依然是列出来。这个题和前面题龙哥有点像，但是不一样，兄弟们看好啊。

它是X方加Y方，它不是等于三呀，它是小于等于三，什么叫小于等于三。它叫的是以零零为圆心，以根号三为半径的一个圆及圆内的所有东西。园内的所有东西。我能说清楚吗？我给大家画一个草图啊，其实按理来说这个你列举是比较好的。画个图，我能让你理解一下。看一下啊，以零零为圆心，以根号三为半径。对不对。小于等于就是上及内的所有的都是在里边的。然后注意X属于ZY属于ZZ是啥意思？Z是的意思吧。Z整的意思，整数。所以呢。

这次整数还得满足它，首先00点，当X等于零，Y等于零的时候，零方加方小于等于三对吧？你再来当它等于一的时候，行不行，一零行不行，行吧，一的平方加零的平方小于等于301行不行，行，负一零形平行，它形平行，还有哪个一和一一和一行行行。负一和一行行行。负一和负一行不行，一和负一行不行，再没了。行不行不行，二的平方加一个什么都比三大了，不能比四小，比不能比三小了，能听懂吗？所以你能写出来的无非啊，就是最大，你不能超过二，最大就是一，最小这个一，所以你应该写怎么写负一，负一。负一零。啊，负一一。因为X。

当我方的具具有这样的性质，那么它最最小这个负一，最大是个一了嘛，因为你当你取到负二的时候，负二的平方一下比三大了，就不行了，不满足了。是不是那把负一往出提，零往出放。有点感觉，有点感觉，这个题有点难，有点感觉吗？有点感觉吗？所以总共有几个123456789啊，我既给你放在这个图里边，我也给你列出来了好不好，当你不会画这个图的时候，我们就列出来，我们把它怼出来，你一个一个试去试一下试一下列举保底得分，我们目的是得分，目的是得分。好了吧。好吧，这一题送大家一个分啊，这题送大家一个分，你看啊，这2018年考过的啊，考过考过。零。

为啥可以？零零，为什么可以说一句啊，你X等于零，Y等于零的时候，零的平方加零的平方小于不小于等于三小于吧。是不是整数是不是包含负一，负二，负三，负四负五，也包含零，包含一，也包含二，也包含三，是不是？好吗？龙哥，集合里边没有大招，集合里面要什么？就这么简单，要你，本来你两秒算出答案来了，你再来个大招。没有价值，真正的我再说一句话，龙哥，你说龙哥我就想学大招。那是咱们难的一很难的一些题，咱们可以有大招简单题，你这就是系统学系统的要不要学啊，兄弟们需不需要哥给你系统的讲，你们老师有这样系统给你讲了吗？啊，用系统征服你了吗？没有吧，来我们来看。

看下一个尾用图啊。韦恩图高考也考过啊，也考过好吧，韦恩图给大家说一下啊。人图你看怎么来用，给大家写一嘴，我们说假设这叫A。啊，假设这是A，假设这是B。黄色的叫B。啊，那么各位。我能，我把他俩拉开，假设它俩是一个套盒，中间套在一起，我把它拉开可以吗？我把他俩拉开看一下。我把他俩拉开。我把他俩拉开。能不能看到，哎哟，我去。来，能不能看懂这个，我把他俩拉开了，基一拉拉开了。

能看懂吗？如果说你要说它两个面积之和，那是不是加肯定比它大？这个玩意是不是我们叫的车，你看这个范围是不是叫AB，能不能听懂。这个是不是叫A，这个是不是叫B？我能说明白吗？我们是不是发现你A加B，你如果说这边是A，它是不是中间少了一个它俩相交的部分。因为AB我们在算的时候，只算了一次中间相交，少了一次中间这个相交是不是应该加上A交B，这个能不能看懂，各位这个能不能看懂？这个能不能看懂。这个是我们在如果要考察集合，考察难一点的题的时候，就会考察韦恩图的一个运算。这个运算就在于。

学啊，我们在。两个集合，它俩相交中间一部分的时候。啊，AB这个B的叫货的意思，A货B它中间只算了一次。啊，中间只算了一次。OK吗？啊，那么所以我们AB再加上一个中间它俩相交的这一次A交B，就等于A加上B，能听懂吗？OK吗？我们把这个拉开了，拉开了，拉开了。拉开了，好了，来上吧，龙哥不拿题听不懂上来到2010年的一个辽宁。考试题试一下，兄弟们试一下试一下啊，试一下哦说。看这题啊。这一题不是这个做法，来，咱们先来下一个，下一个这题不是。

这一题的做法跟他不一样。我们来下一个题，这一题没用到，看这题。最后再来那个一零年的那个。先看这题啊。他说2020年的啊。说某中学同学积极参加体育锻炼，96%的同学喜欢足球，或者又有或者的意思就是病急吧。足球或者游泳。这是不是就是AB的意思，能不能听懂？啊，他现在的意思AB呢，有96%。60%的学生喜欢足球，也就是足球有60%。游泳呢，有82%。那么他问，你既喜欢足球又喜欢游泳，那就是A交B等于多少？是不是这个。能听懂吗？AB。

你看A并B是不是长这么个玩意儿？这个A并BA并BA，这是它的总和。A呢呢说的是红色的这一块。B呢，说的是黑色的这一块。它是不是比它多加了个它，那么答案是不是应该是什么？A加B单独加A单独加B，中间这个数加了两次，它是不是等于A并B，再加上一个A交B，我们这是答案。A等于60%，B等于82%ABB96%，A交B算一下来能跟上吗？能跟上吗？自己算一下等于几算一下。计算能力，我看大家能不能会不会算啊，60加82减96能不能算出答案来？60加82减96能不能算答案来？能不能算？

过来。不要跟我说你计算能力不行，我都让你在课上算了，你还不算，你不算你的计算能力，你这玩意儿上不去。好吧。龙哥没懂。来，先把它给我算完，我再来一道题，你别慌，我再来一道题，你别慌啊。我再来给大家统一下这个啊，你先算着啊。我来给大家统一下这个啊。同理一下啊。就是他既喜欢足球又喜欢游泳，就是有一波学生，他既喜欢足球又喜欢游泳，我们单拿出足球来，他是这一块，单拿出游泳来这一块，对吧？它相当于把中间既喜欢足球又喜欢游泳的算了两次嘛，A加B算了两次，而我们A并B呢，是只算一次的，所以你要再加一次A交B。哦，所以要再加一层。

来看一下啊，算，等你算完了吗？算对了吗，各位。60加八十二一百四十二一百四十二减去96。它减它六三减它等于几四四十六，所以等于46%。再来一个铁牛龙哥，我一个题还不行，我再来一个铁，再来一个题啊。这是一，这是二，这是最后初三好了，过了啊。来看这道题。2019年全国三卷高考真题看这道题。太细了，是不是龙哥太细了？对，你就给龙哥刷一个全网最细，我龙哥名不虚传，是不是看这题啊？

西游记、三国演义，水浒传、红楼梦大家都了解啊，不重要了。然后呢，说某中学为了展开随机调查了100个学生。调查100个学生说其中西游记或者红楼梦的学生总共有90位，所以这叫或A并B等于90。读过红楼梦的学生有80，哎，我们假设红楼梦是A好不好，假设红楼梦是A啊。啊，假设红楼梦是A梦。红楼梦是A，那么西游记就是B呗，他说读过西游记且读过红楼梦的，那么不就是A交B等于60吗？这玩意儿，这玩意儿。是不是？哎，那么他问你说西游记的人，你先给我算出来，西游记有多少人？B怎么算，各位？

B怎么算？2019年这个题全国三卷的题，这个题我没有记错的话。第一题考了一个集合的交集，这是第三题又考了一个集合，它的一个原图的算法。嗯。你看啊，A并B这角A。这叫B。ABB的意思呢？A或者B，这是它整个一体。OK吧，等于90A呢，单独占了80。A交B呢，公共的部分呢，它占了60，那么B呢。我们说了是不是应该是。A加B啊，你单独加A，你单独加B。是不是把中间算了两次，它是不是等于AB？

D。再加上一个公共的部分。所以你要算B怎么算等于几，来算一下它，算一下它这儿呢，我需要大家把它罗列一下，罗一下，挪一下B等于几，各位告诉我B等于几？A等于80 B等于几不知道A并B等于90 a交B等于60，所以B的答案。他俩约掉十加60等于70。啊，他说，哎，阅读过西游记的学生有70个人，那么与高校学生学生有多少个，100个，我们调查了100个，所以它的比值怎么算？是不是70 : 100？听懂了吗？这第一步，这是第二步，第三步就是70 : 100，它等于的是0.7，说清楚了吗？有点感觉吗？这个题这个题有点感觉了吗？文图有点感觉了吗？啊，明年考。

交聘补，但是我再说一句话，我押一个明年玩转文图的这样的一个做法啊，一九年考了，二零年考了，21年22年没考，二三年考呀。我只能说，烤鸭啊，烤鸭啊。把这两题给我给我捏了去，把这两题给我拿捏了，拿捏吗。能拿捏吗？来回来把2010年那道高题给大家也讲一下，这道题呢也讲一下。啊，这道题也给大家说一下。看一下。这叫全集优。全集优。他说A交B等于三。它俩公共的部分是三。他说。龙哥，课间不休息吗？

课间休息时间到了。咱们讲完再说，一会儿我也想上厕所了，是吗？我把它讲完休息行吗？兄弟们，我把它讲完休息行吗？我把它讲完行吗，兄弟们？想上厕所的，现在拿着手机自己去吧。这这这玩意，我我我都讲完，行不行行不行。我讲完这总是讲一半，不然你这叫老母猪上大树，上一半，它掉下来容易摔着屁股，你知道吗？来。啊。看这题啊，A交B。A交B，它等于个三，说明A里边一定有三吧，各位。能听懂吗？A交B，那A里面有三，B里面也一定有三，哎，B的补集，B的补集啥意思？对的。

就是除了B之外的东西，除了B之外的东西。然后呢，和A相交，那么A交B的补，它有，那么A1定有。好了。那么各位我再问一下，我再问一下，那么A还能有别的吗？A还有别的吗？不能了。为什么？你看心啊，各位，你看心B和B的补给，各位，我说了，B相当于一个白天，B的补给相当于一个黑夜，白天和黑夜我都和A相交了，啥意思？B。和B的补集加起来，那就是全集啊。一个A和全集相交，交出来只有三和九，那意思A只能是只有三和九，不能有边的，不能有边的。OK吗？不能有别的。再说一句话啊，我再来说一句话，你听一下对不对啊，一个集合。

和全集相交，假设这个题的意思变成了A和交，全集等于三和九。那你告诉我A等于几？A等于几？全集是不是13579 a和全集相交只有三和九，那么A减少，A是不是只有三和九呀？能听懂吗？那龙哥这一题不是你看啊，我再来讲一下B集合和B的补集。B集合和B的补集是不是占满了全集？A和全局相交，只交出了个三，只交了个九，所以只有三九，龙哥理解不了龙，不是龙哥理解不了，是龙哥我理解不了。来，我给你说一下啊，如果在考场你能遇到这种比较别扭情况怎么办？我怎么办他？看一下答案。看一下。这个题听不懂了，这这这这这能行吗？

考场的怎么办看啊。如果说。不是听不懂了吗？不是太难了吗？理解不了吗？理解程度上不去了吗？你看龙哥这人啊，我就知道你们有人理解不了。所以呢，就来了。这是A。这是B啊，无所谓。看一下。相当于三，还有个九假设，你看啊，在考场上不是做出来了吗？有三和九，A肯定不能选，选B和C，我们带个数试一下，你假设有五，我假设他有五。假设A里边有我。假设A里边有五，你听一下啊。A里边如果有五。一里边。假设B里边有五行吗？不行，B里边有五，它俩相交的交出三五来，我能说明这句话吗？我们假设A里边有五。

这边如果有五，那么他应该交出个三和五来，能不能听懂，所以B里边肯定没五，B里边如果没五，那么B的补一定有五。B的补一定有五，那么B的和A1定能交出五来。就是五，但是它没有，所以不能有。我能说明白吗？啊。再强调一遍，再说一遍，听一下，你听下这个逻辑啊，非常的简单。啊，假设你说C选项，那么A有。A5啊，A5。假设B有五，B有五，A有五，B有五，那么交出来应该三五，所以B一定不能有五，B一旦不能有五，那么B的补集一定得有五，B的补集有五，那么五就和A要相交出来五，但它没有。所以五一定不对，同样道理，气也不对，别的都不对，为什么？就很简单，B和B的补集。

就是全天下A只是全天下的一块交出来三，那只有三，不可能有别的。来了七谁怕谁怕老七行嘛，我把出去试一下，在考场实在不行就咱们就试一下。懂了吗？假设A里边包含七啊，假设A里边有七，兄弟们，假设A里边有七。A交B等于三，那么B里面一定不能有七八。B里边没有七，那么B的补给是不是有七？B的补给有七，A有七，那么A和B的补交出来应该有七，但是没有，所以A里边肯定没七。懂了，来个懂了。好吗？啊，就说一句啊，就是B和B的补集，或者A和A的补集那。

就是全天下，白天和夜里，这就是一天。是不是，哎。很难不懂这是什么话，我都听不懂这什么话，下课休息一下吧，大家肯定都想到龙哥休息休息，休息就休息，谁怕谁，张三怕老奎。课间休息一下，一会儿回来，大家回来先上个厕所啊，不用退出直播间，一会儿回来，咱们继续啊，咱们继续啊。然后呢，龙哥给大家发群红包，一会回来啊，课间休息好吧。课间休息发红包，先上个厕所，该上厕所上厕所，该上厕所的上个厕所，兄弟们。呃，上厕所之际，嗯，看一下现在几点了。17:16到17:26啊。我在这儿呢，稍微的说几嘴啊，说几嘴说几嘴啊。说几句很重要的啊。第一嘴。

第一嘴。如果大家昨天有听龙哥那个课，昨天有听龙哥那个课吗。昨天有听龙哥的课吗？龙哥有说过，但我今儿也要说一下，这样啊，第一个我们就第一时间听课。你说文哥，我还有救吗？我还来得及吗？明年高考，我能考出个人模狗样来吗？能，能考出一个非常厉害的人模人模。人物人样啊。一定能第一时间听课，我不管你是看直播也好，我不管你是看回放也好，我不管你什么，你至少也得来个三遍五遍，到高考考前一定来个三遍五遍的看。看这个就是哥说的，我不大家有没有在那个本上写咱们的。承诺书还记得吗？立刻执行，有一句话你还记得吗？立刻执行。立刻执行，所有事儿就立马去做，立刻。

立马去做，说清楚了吗？啊。所以一定要听课。如果你不听。你一定后悔，你一定会后悔啊。第二个事情一定要单独记笔记，就是这个东西你给我扔到一边去，好吧，书扔一边去单独记笔记。龙哥，昨天有讲了，咱们那个同学，你们那个学姐，人家记了十个笔记本，兄弟们记了12个笔记本。你想想你准备记几个啊？单独记笔记好吗？哎，为什么要记笔记？我再说一句话啊，第一个事儿。就是同样的时间里边，你必须高效的听一遍，看一遍，记一遍，你必须能够把你的形成记忆，形成肌肉记忆，形成在考场上，我们就知道哪儿要出问题，哪儿要弄东西了，你就必须形成这样的记忆。单独记笔记这第一个事儿，哥们，你得增强。

你的记忆，你得短时间内高效学习，你得比别人记得更多啊，就是你通过手写，通过演技，通过眼看，通过耳朵听吸收更多，这是第一个事儿，第二个事儿就是到了明年你高考考前最后一个月的时候。你不可能说农哥最后一个，最后一个月的时候，我再把所有的看一遍，你看不过来。看不过来怎么办啊，拿出笔记来，拿出你记的笔记，哎，我们刚好翻哦，说龙哥我翻到了未来，你比如说我们要学数啊，翻到数了，哎呀数像我会不会，那个会不会，哎，我知道了，或者你给我翻到集合了图，哎呀图字我有点不会了，这是什么情况呢？哎，我立马把我的课拿出来看一下。精准定位来看课，能听懂吧，看回放，精准定位。说清楚了吧，所以这是两个字啊，哎，一定有笔记，单独记笔记一定记啊，一定记第三个事情。

第三个事情啊，龙哥讲话了，一定得做题。一定得做题，兄弟们。咱们现在有课后实题。对吧？课后十题，每节课后的十题，这是跟咱们课上非常非常强对应的题，你必然会做，你肯定会做啊，加上黑马120的题，如果有学生从来没有动过笔，龙哥和你之前见到的所有老师都不一样的啊，就是你一定要做龙哥的黑马幺二题还行吗？咱们集合这是不是也有黑马月问题了？咱们已经给了大家16块17块内容了吧，17大块了。一套题120道，17套了，已经。未来会有18套，19套，20套，两三千道题啊，龙哥未来还有什么啊，一轮的题，你龙哥那个黑马题太简单了，简单你也得做，然后呢，咱们还有一轮复习的强规的题啊，就是在他基础上再升个难度，还有高考真题的一个。

到汇编啊，高考真题分模块的一个汇编，好吧，就是你从这儿啊，我们先从它跳跃到他，从它跳跃到它，从它跳跃到它，好吧，一直到你高考，如果所有人听清，你能按照龙哥要求这样去做了，并且你能坚持这一年，你能坚持到高考考前最后一时间，你相信我，明年如果你考不出一个璀璨的成绩来，如果你数学考不出一个能拿得出样子的成绩，过来找我来。你只要这么做，你只要按照这么做。明年，不管高考难不难，不管高考或怎么样，你一定能考出一个牛掰拉回自己的成绩来，我能说了吗？好吗？打印吗？我建议大家你去淘宝呀，或者去哪啊，你去打印一下，你打印一下一张纸。一毛钱还是几分钱吧，他们说打一个一几千。

哎呀，也就是花个三五十块钱，是不是你打你从市面上买不到这样的题，龙哥熬了无数个大夜去做的题，各位黑马要是题行不行，各位好不好，要不要龙哥继续弄了。做了吗？你要不要做好不好黑马问题好不好各位。好不好？好吧，所以一定要去做，一定要去搞，一定要去练，我经常说如果你要成为一个神枪手啊，你要成为个神枪手，他一定不是说一个老师在那儿给你天天举例子说啊，我们枪要总心和那个什么瞄准三点成一线，你天天你要那么那么练完蛋，一定是一匣子子弹，一匣子子弹，一匣子子弹，拿大量的子弹，子弹给喂出来的啊，神枪手一定是喂出来的，你呢，一定是需要龙哥给你做这样的大量的题给你喂出来，你成为一个做数学里边非常非常强的一个人。我能说清楚吧，你能快速的拔高，你能迅速的提升。OK吧，啊，如果还有。

讲了啊，咱们高三一轮复习，我昨天有讲到啊，咱们的目的，高三一轮复习，我希望所有人能耐得住寂寞，你知道你在学会东西，你能够向下生长，你可能在你去了学校之后，你说龙哥，我月考周考考的不太好，那不重要，重要的是未来你在高三第一次模拟考试，12月份的时候，你能考一个非常出类拔萃的成绩，你能在高考里边考一个出类拔萃的成绩，不出了吧，向下生长，生根发芽，吸取营养。昨天我记得昨天咱们上课的时候，龙哥，我不知道你们老师有没有，咱们各位所有辅导老师，你们有没有给大家发。我不知道大家有没有给大家发那个那个通知，对吧？啊龙哥作为咱们品牌旗下学生数量最多的老师，并且咱们今年高三的学生量确实非常非常大啊，所以导致了昨天晚上咱们上规划课的时候卡顿。卡顿了那么久，真的是龙哥的学生一己之力，那么就那么短时间内一下一进法。

通道给干死了，干干干干坏了。啊，所以呢，昨天呃，出现了这样的状况，咱们紧急的所有的技术人员五六十号人全部给龙哥来修这个通道，就相当于什么呢，咱们现在要开始上课了，那个班的门口就这么窄，然后呢，一下子五六个人，七八个人往进挤，挤的，然后有人摔倒了，进不来了，后面有100人，200人，一万人冲进来了，冲进来了，所以前面就堵堵住了，说清楚吗？啊，后面咱们才好修好了，所以呢，还有在这个事啊，今天晚上，昨天晚上没有听的人，没有听到的人，今天晚上，今天晚上08:20，龙哥又重新给你开了一节，好吧，昨天没有听的来听一下，昨天听过的也可以来再来听一遍，08:20到08:50，今天晚上说清楚了吗？咱们昨天晚上的规划课再来一遍，龙哥还是就是龙哥这个人呢，就是我想做一个非常极其绝对非常非常负责任的老师。虽然有些同学说有些有些老师说不用补了，你昨天晚上不是。

拖那么久，被人家扣那么多钱吗？我说不重要，我想的是给那些没有听的人，我再来讲一遍，我再来让他们听一遍，因为我认为这个东西太重要了，好吗？好不好啊，龙哥真的就是你，你说龙哥我下课休息一会儿不好吗？不好，我就想跟你多说点，我就想让我的热情点燃你们的积蓄，我就想把你们拯救起来，我就相信在咱们这个班里边，明年高考就是咱们这个班明年高考一定会有那种考一百四十九一百四十八一百四十七一百五一百原来三五十分考130的，我希望你能成为龙哥嘴里边那个经常给你们学弟学妹提起来的那个人，我希望你能成为我的骄傲，我希望你们都能成为我的骄傲，好吧，嗯。来。我发学生花，咱们继续上课了啊，上课了，你看龙哥。

来，该回来的回来了，兄弟们啊，该回来的回来了啊，该回来的回来了好不好？待会回来啊呃，龙哥想说一下啊各位。我也相信咱们班里边有同学可能真的是一个夏天坚持不下来，热死一批啊，冬天到冬天了又冻死一批啊，嫌冷啊呀，不说我不坚持不下去了，还有同学找各种的理由说，哎呀，我想再等一等，等等会把人等死好吧。所以我也相信咱们班有考了很高的人，也有同学，你看他最后没有看课干嘛天天说刘琼啥也不是，然后呢，咱也帮助不了他，以为买了个课，就感觉我也从来不看，然后我分数滋滋就上去了。哎，咱们孩子你能不能写，能不能写来干啊，回来回来，咱们继续干啊，兄弟们，兄弟姐妹，我们继续干啊。

题我给大家说呀，这不考大题，我一定要明确这个事儿，你龙哥我们老师讲大题，你讲你们老师讲大题，你我就不多说了，反正这玩意儿不考高考不考大题啊。这一块高考不考大题，所以你不需要搞那些乱七八糟没有用的啊，听懂龙哥的就可以了，好吧，来，接下来我们再来啊，集合元素的三个特征了解一下。前面的都属于。高考高频超高频考题考点，明年高考就在我前面讲那一块里边，接下内容，我们为了万保。万无一失，为了万无一失啊，就是龙哥万一呢，那我就把这个万一也跟你讲了哈，来集合里边的三个特征，我其实刚才一直在说啊E其实考察就考察互译性，什么叫互译性呢？啊元素里边一定是互不相同的，你比如说出现了12247啊二和二写一个就。

了，能听懂吗？这也就是为什么我们刚才图里边它相同的那一块会会会那样OK吧。说清楚了吗？各位，哎。你比如说我给大家就用这个吸性给大家再讲一下，刚才有个龙头，我北图那没搞懂啊，我给你举个例子啊，给你举例子各位。你看啊，假设集合A里边是122123。好吧，哎，集合B呢，它是234这儿能不能听懂。它是不是有三个元素，它是不是有四个元素，能不能听懂，那A交B有几个呀？A交B等于什么？A交B是不是等于二和三？能说明白吗？ABB呢？是不是1234我能明白吗。当然能说明白吗？啊，因为我们AB就会出现过性。

啊，然后呢，你看啊，那么A加B等于几。A加B是不是三加三和3B3和四是吧，三和三三加三吧。是不是A和B是三加三，如果你说A并B呢？A并B是不是四呀。它俩能相等吗？不相等，差了个谁，差了个中间它俩的交集，公共部分加个A交B，这有没有点感觉啊？现在有没有这感觉啊？A交B有两个元素有点感觉吗？三加三等于四加二，有点感觉了吧？三个三个三个，我刚才写错了。手误了，兄弟们，手误了，手误了，现在有点感觉了吗？啊，刚才龙哥图那个字。文图A并B加上A交B等于A加B。懂了吗？把这个例子给我写那。

A是123，它有三个元素，B呢是234，它有三个元素，ABB1234 a交B23，所以ABB你看啊，你看是不是兄弟兄弟姐妹们，兄弟兄弟兄弟啊。ABB是不是1234 a交B是不是二三，是不是122334，你看他俩122334是不是一样。把这个例子刚才给我写到，我刚才写那个玩意儿里边ABB加A交B等于A加BOK吗？写到了啊。啊，集合绝不可能考大题啊，自考小题好了过了啊。然后呢会性，所以呢，元素里边不能相同啊，有不能相同的无序性和确定性，高考从来不会考，未来也不会考，了解知道就可以了。好吧，来看下书上这题。这就是手拿把下，这个太简单了啊，看一下。说集合A等于它，集合B等于它，A交BA并B等于它，则满足。

它的条件是什么？嗯。来看一下吧，我们来通过刚才龙哥讲了。集合具有互性，所以A里边知道了X不能等于一，X不能等于四，这是只能通过A里边知道的，只要你X不等于一，只要X不等于四，我们就OK满足。是不是？来第二一个通过B我们能做道什么？这是一，这是二，通过B我们能做什么呀？X方不能等于一，哎，这是我们知道的。对吧，那么他说ABB呢，只能是14X14X啊14X。那X方等于等于什么呀？X方不能等于一，看到了吧，X方不能等于一。X方不能等于一，那么X方要不然。

啊，等于4X方要把它等于X能不能听懂。X不能等于一，X不能等于四，X方不能等于一。那么它两个里边呢，你并完之后，你不能出现新的东西了，X方要不然等于四，X要不然等于X，所以你一推X方等于四的时候，X等于二，或者X等于负二。我们回头都验一下对不对啊，当X等于二的时候，142，当它等于它的时候一四。它俩一定是不是等于142对不对对。它满足负二呢。一四负二。一四他俩一一定是不是一四负二对，我能明白吗。啊，这种题都没有考过，你看这是2020年广东的一个高一的期末考试题，这玩意高三高考都没考过，给大家只是说一下啊。

然后呢，我们来看。X方等于X，那么X等于零或者X等于一吧。X等于一行吗？不行，舍去。X告诉了不能等于一，X等于零行吗？行，14010往出一并140可以。所以有三个。这个呢，大家做一个了解就可以了，考试里边你说龙哥，我们老师讲的比这个还复杂，这个还难，我考不出来，考不出来这个我都是本来都不想讲的，这玩意什么破玩意儿。过了啊。这什么破玩意儿，好吧，不过我不会这个，不会这个也没关系，考试考不出来，过了啊。不会出这么简单。考试考不了，这么难啊。我再说一句啊，高考考不了这么难，这题太难了。

这道题都记笔记吗？我给大家讲一下啊，同一类型的题，同一类型题你记两个或者三个，当然你说龙哥我想多记一点，OK，但是你每类题至少记两三个，我给大家的建议啊，人家为什么有人能记12个本，有人一个本没记。来看啊，接下来再来看另外一个。啊，我们叫什么来着，速算子集。速算子集的技巧。这个呢，你老师也教过，我相信肯定交过头啊，这个没啥没啥藏着掖着的啊，如果一个集合里边有N个元素。有N个元素啊。哎，当然我们这种N都是属于。新的啊，这个肯定的对吧，你不能有1.5个元素没有那玩意儿啊，那么怎么办呢。

它的子集怎么做？它的子集有几个？二的N次方个，它有多少个增子集？二的N次方减一个增子集。它有多少个空集？二等次方减一个非空子集？它有二的N次方减二个非空增子集。这些都知道。还得这。这些都记得啊，来举个例子给大家，哎哟，我去。刚才扫了什么玩意？来举个例子。怎么举例子呢？比如说哎，我们有一个集合A，它是一个一二。哎，那么它有几个子集呢？我给大家举例子啊，你看子集。是不是空集是任何集合的子集？

对吧，集和一是不是它的子集，集和二是不是它的子集，集合一二本身是不是也是它的子集，所以它有几个四个也就是二的平方。等于四个，能不能听懂什么叫真子集呢？增子集的意思就是它是真正的子集。啊，你像一二呢，和它本身一样，我们得替掉，本身它就是空集，一集合二集合。一二没有去掉，本身就叫真子集，我能说清楚吗？二的平方减一它等于三。这样能听懂吗？二的N次方减一来，这时候你还不给龙哥说全网最喜欢龙哥，还等什么呢？非空子集非空子集啥意思？非孔子。孙悟空。

那子节的意思就是把空集给它去掉，其他都是。那就是1212。哎，所以为什么龙哥说你跟着龙哥高三一轮复习你能起来，因为高三一轮复习，一轮复习是你唯一一次最后能够全方位无死角的跟着龙哥才能学到是不是。跟着其他老师，大概率也没人给你讲这么些，没有，我没发现过啊，来飞空生子节。因为有些人呢，他分不清楚。说我一轮讲什么，二轮三轮讲什么，很多人就是一轮二轮三轮是一个样，一轮二轮三轮一模一样，一轮一轮就是把基础给咔咔咔的打下来，二轮三轮讲难度，讲讲考场技巧，讲一些整套试卷的做题思路，那个是不一样，兄弟啊，非空真子集，就是既要去掉空集，又要去掉增子集本身，所以它。

他只有一和二，我说清楚了吧。所以哎哟，我去。二的平方减个二。好不好，所以它等于四。好了吧。清晰多了，是不是？标题那个二三是啥意思？你这是折煞老夫了，兄弟，标题那个二三啥意思？你这折煞老夫了，折煞老夫，你这不是折了？你这龙哥的脸上挂不住了。兄弟，什么叫标题那个二三？这怎么是二三呢？哎呀呀呀，这不是技巧的巧吗？兄弟，这不是巧吗？这不是巧了吗？这不是巧了吗？这个钱。

倒兄弟技巧的巧那二三，我的天呀。我好好，谢谢啊。现在行了，现在行了吗？这不是二三了吧。三四吧，来看题，来看题啊，你们太可乐了，太可乐了啊，来看这个题2013年。江苏卷高考真题啊，这是比较比较看的新一点的考子级的了，就最近十来年没有考过子级真子级的这个概念了，好吧。哎，负101，它共有多少个子集啊。它有几个元素，三个元素吧，子集是不是二的N次方，它有N，它有三个，所以是二的三次方等于八个，这没有问题吧？啊有同龙哥高考考过的题，高考不再考你这玩意儿，扯犊子呢不是。你看这个题，1988年全国告诉你，龙哥已经给你找到啊。

集合这两题是不是原题，我们大家能不能看出来这两题是原题，这两题是不一样，它里边我们不管里边你是什么玩意，你里边长什么样，跟我没有关系，我只想看里边有几个元素，几个元素三个。子集吗？子集，所以怎么办？哎，二的三次方等于八走你。这两题是不是100%的相似了，这都是，这都不叫10%，这叫100%，这都不叫原题，这是高考考过了。好吗？好久远了是不是啊，我只是说高考考过，龙哥都给你拿高考，我对高考的了解程度，兄弟们，我认为比当年出题的那个老师更要了解一些。高考出题呢，大家。你们先算这个题啊，你们先算这个题，我给你叨叨两句，高考出题集合M，集合P等于M交，那么它的。

子集共有多少个？自己算一下，这题选择什么？他俩先算个交集，算完交集它有几个元素，然后呢，再去算它算一下。好吧。自己做一下，我给大家叨叨一下，为什么龙哥敢有这样的底气说全网一哥全网我，我真的看了一下，就是各位先说第一个事儿。现在应该是咱们是不仅是咱品牌下学生数量最多，我看了一下全网不管是哪儿都没有龙哥学生数量多，龙哥是咱们全网学生数量最多的，这说明真的是扛把子啊。我再说一下，为什么龙哥会比高考了解高考呢？就是高考出题人每年聚集在一起的时候，他们是四月底五月初才聚集到一起。就是他们需要大概呢，一个月二三十天的样子，四月左右的样子啊，就到那会儿。二三十天就要把高考出来，然后呢，他们这个里边还有经历，我们翻阅以前的高考题啊，然后呢，看一看。

呃，字面上的题等等的。就他们只是需要短短那么几天，龙哥天天研究这玩意，天天研究高考题，每年从我们七年高考恢复以来，龙哥天天把这高考题研究过来，研究过去，研究过来，研究过去，我告诉你各位啊，我比他们可能更加了解高考，他应该出什么，你知道吧，我可能比他龙哥就是。那叫什么谍中谍中谍中谍中谍中谍你知道吗？就是一般是谍中谍，龙哥是属于碟了，那么多碟啊碟叠叠叠叠碟碟。做完了这题，所以新龙哥无坎坷，前方一路小平坡M1有吗？一有三有吗？三有五有吗？没有一三所以几个元素两个所以它的子集是什么啊？二的N次方那就是二的平方啊。选择等于四。好吧，等于四选择B做对了吗？

告诉你个秘密，出题人的大学教授。那算什么秘密，那算什么秘密，那都不算啥秘密啊，来四了啊，四过了啊。看一下你们书上这个题。好吧。哎，输到那个题哪去了。哦，看一下这个吧先。123134，你看2013年福建的啊，太简单了，没啥说的啊，选C我相信你们都会啊，没啥说的，说到这题。这个题呢，在这呢，这个在这。这叫儿。啊，Z整。整数听懂了吗？那么既然它是整数，那么A里边就应该出现的是负101。

二我能说清楚吧，这是A里边要出来的，那么B就很简单了呀，B说的是小于二，B是小于二的交BA交BA。负一在里边吗？在零在里边，在一在里面在二在不在二没有小于二啊，所以A交B。所以它有三个元素，所以二的N次方。呃，这太简单了，不值一个学分啊，都不。下一个。我认为未来的高考应该考这个样子啊，给大家找几道考试题。看一下啊，我给你压的是这个题。我给大家押的是2023年，如果要考子级或者相关的题，应该考这个题。2023年给我。

不注意这种题啊。232023年这个题也是考此题，下个题也是考子题，你看一下你会不会啊。一二并上M等于它。就是你更多高考里边我们是要反农，你们老师经常说反技巧，反什么是反学校里边那些技巧，所有人都熟知的技巧，这是高考出题的一个规律，好吧，哎，那么你像刚才那个二等方大家都教过，所以他要反，那么反怎么反，反成这样？啊，所以怎么来。M至少有个谁，至少有个三，所以列举这个东西你是必须要会的啊，M有个312定个三出来，或者是113，或者是二三，或者是123，能不能列出来，各位列出来得分能不能行？在考场上不管你是黑猫，老老猫还是小猫咪，哎，不管你是什么猫，能逮住这个M的猫就是好猫，对不对啊，所以是一二。

344种可能选择D好吗？可以吧？啊，来看下一个，我认为考试应该考出这样的一个样子来啊。你看。考出这个样子来，所以一二是M的子集，M是1234的子集，集合的个数有几个你就列就完了。兄弟们，在考场上你别慌，你龙哥，我不会了，不会了，给我用最笨的办法，用小学的办法，也给我把它弄出来，弄出来。在那个考场呢，在那时此刻两小时里边，你要完成这样的一个浩大的工程的时候，你就不要管他，你说我用的什么，怎么地了，你你要能牙给我抠出答案来，你给我拿牙抠是不是？拿牙咬出答案来也行，是不是？哎，这题选啥？自己选吧，兄弟们。一二是M的子集呀呀，这错的。

一二是M的子集，那M是不是至少也得含个一二啊？一二是一二的子集吗？是呀，一二是1234的子集吗？是呀，123是不是？124是不是。1234是不是。啊，你挨着写吗？从两个写三个写三个写四个挨着写是不是只有四个？是不是只有这四种情况？M等于一二行吗？行，M等于1234行吗？写M等于124行吗？M等于1234行行选择C我OK，当然有个别题，你得注意它是不是有真子集啊，好吧，通法通解有这种的OK了。好了吗？好了吗？来看下一个。下一个是你无论如何必须必须必须会的。这个题是你必须必须会的啊，这是。

老生常谈，这个东西，太太太太太太考的年头太多了。属于基本功啊，说集合M等于Y等于X的平方，也就是它是在的是这个二次函数上的一个点坐标，而它呢，是在这个植数函数上的一个点坐标，Y等于二的X次方，那么它的这两个函数有几个交点，其实它有几个交点，算完交点再子集嘛。是不是先算交点再算子集啊？先算交点吧，两个函数图像的交点，龙哥其实以前讲过一句话叫什么？啊，函数的零点方程的跟图像的交点，对吧，这是图像的交点了，画图就完了，直接告诉你。它同样有几个交点，各位Y等于X的平方和Y等于二的X方有几个交点，有没有人，有没有人老人啊。龙哥，老人应该知道，龙哥要是不是龙哥的老人，你可能这个节不知道Y等于X的方。

啊。能不能听懂？好吗？哎，因为你看在这边的时候，在负子这边肯定有一个吧，所以有三个焦点我能说清楚吧，三个交点说明它有三个元素，那么三个元素的子集就是二的三次方等于八好不好？哎，有同龙哥，我这怎么能想到呢？我讲过你才能想到，我没有讲过你肯定想不到，所以下去把这个图画，哎哟，我去。啊，下去把这个图自己画一下，自己画一下啊，自己画一下，这边呢有个X等于二，这边呢有个X等于四，OK，这边呢还有个负的，所以有三个交点。好吧。这个图啊。这个呢叫Y等于X的平方，这个呢叫Y等于二的。

X次方。好了，这个题过去了啊。下一个。看这个这个元素里面有几个子集，有几个元素先，这是不是一个元素，这是不是一个元素，是不是有两个点坐标，这个集合里边是不是有两个点坐标，有两个点坐标，是不是有两个元素。有两个元素，有几个子集，二的N次方，也就是二的平方，它就等于四吧。啊，来一些它的变形变式，啊，来一些它的变形变式，兄弟们。曾子，机会吗？说。A的增子集，A的补集等于二，那么A等于几啊？A里边有几个元素？它的增子集？增子集还记得吗？啥意思，除掉本身的。非孔子节。

除掉空集，所以他选择啥。几个？你看龙哥今天拿集合给你讲的，让你讲的透烂透烂的啊，不等式咱们都早都讲完了是吧。所以有几个你看二。它剩下的就是013，是不是有三个元素。所以它就是二的三次方减一是不是等于八，减一等于七，我能说明白吗，各位。好过。你们老师会带着你把每一个的增子非子级都会给你吗？大概率是不是做不到呀，龙哥是不是全网最细，我龙哥是不是货真价实。是不是来看P他的X方大。

于二，那么也就是X大于根号二或者X小于负的根号二对吧？P交Q。它得满足你看啊，得满足大于根号或者小于负根号，没有负的，那么只要满足大于根号2234就可以了。4P交Q是等于234的。他说非空子集有几个？三个元素非空子集。带大家练一个啊。这种题考的很少，你知道龙哥找个这种题多难呀，多难找呀，你知道吗？龙哥得翻阅几十套试卷，几百套试卷我才能找到。做对了吗？

做对了吗？非空子集啊，非空子集，最后给大家再来一个非空增子集，兄弟们，非空子集看这题啊，2020年山东的这道题，这是一个方程吧，他问你方程有几个根？啊，函数有几个零点，他没有问，他问你的是方程有几个根，这个东西是不是我刚才讲的，把这句话再给我记到旁边。函数的零点。就是方程的根。就是图像的交点。未来你学零点的时候一样，反过来也是。它俩相等是不是一个方程对吧？可以看成是两个同样的交点，一个叫Y等于二的X次方。

一个角Y等于X的平方，这不是刚才说的这两有几个点。刚才讲了吧，图像知道了吧，是不是大概长这么个样子，哎，这是它。哎，这是他啊，我画的有点丑，三个焦点好吧，确实这个图很不好画，所以考试呢，他就爱考好不好，所以它俩有三个交点，既然是三个元素。那么非空增子集，非空子集咱们还能回忆起来吗？二的N次方减二吧。所以他答案几啊。有三个元素2N次方减二对吧？当然了，这个题还可以改一下啊，刚才我们叫的是这个玩意儿，我们还可以改，改成什么样，可以改成你看啊，我把它移过来。

就是二的X次方减X的平方，我说函数FX等于它的零点有几个？啊，函数它的零点有几个，跟这个题一样，它的零点也就是令它等于零，就是它的方程的根。函数的零点，也就是这个方程的根，也就是变成我们会画的两个图像的交点的个数，能听懂吧？没错，这个函数的东西呢，咱们后边还会讲，今天主要是我带一下，我主要带一下，后边还会讲。好了吗？过了啊。过了啊，兄弟们。兄弟啊，想你啦。来讲这里。

这种题呢，没有考过，考的很少。集合关系，求参。啊，考的很少，给大家说一下啊，几乎没有考过，说一嘴。说一最重要的一，其实我前面有讲了，最后一步等号或者是特殊的这种东西，我们单独算。这个玩意儿呢，A集合叫做大于负一小于二。大于负一小于二。B集合呢，X大于A。X大于。A交B，它等于B，那么说明B的范围是特别大的，包含了A。所以呢，A要跑到这边来。你看这个相交才能交。哎，并且啊，并且什么交集B啊ABBB出个B来对吧，所以这时候你会发现它两个1B是不是就是B的能听懂吧，所以是不是能看出来。

A等于小于负一。我说明白了吗？A小于负一。那我们这时候会发现，那我能不能等于负一啊。A到里边来肯定不行，因为A到里边来，你这一块包不住了。那我A等于一刚好跟它齐上行不行。我们得单独算一下等号。单独带。如果当A等于一的时候，负一的时候，这是负一，A等于负一，那么B就变成了X大于负一。听懂了吗？X大于负一。你看啊，负一到二和X大于负一，它的两个并完是不是并出来的是B的X大于负一是吧，说明等于负一行吗？行。啊，所以A小于等于负一，就这种题呢，单独带一下就可以了啊。自己理解一下，自己理一下，自己理一下，理一下。

饿死我算了。好了啊。刚刚画面禁止了，不是卡，我喝口水喝口水呀，哎呀。来再把这个说一下，再把这个说一句，这个把这个说一句啊，兄弟姐妹们把这个说一句啊。啊。你看啊，X是负一到二，这时候你就开始该刷全网最新龙哥了啊，X是负一到二。对不对，哎。

然后呢，B呢是X大于A，它两个B一下等于B，说明A得把就是说明这个B这个范围的小A。啊，得把我们集合X大于负一到二包进来，那包进来A就得在左边，所以A得小于负一，那么我们说等号单独带，那么到底A等于这个特殊这个点的时候行不行。A等于负一，我们试一下A等于负一的时候，X大于负一，X大于负一和X大于负一小于二。它俩比一下是否等于B是，所以A等于负一可以，所以算出来好了吗？电风扇都没有没有没有没有啊。所以全网最信我龙哥，就是但凡有同学说，龙哥，哎呀，我们同学问了，我基础差，我应该跟随我，我基础薄弱，我现在只能考个60分，我应该跟随刘秋龙。

跟刘秋龙一定能学好是不是，哎，因为只有刘秋龙能够讲那么些了。把这个题说一下，2020年全国一卷考试题，但是呢，这个题呢，跟刚才题呢，也比刚才要简单太多了。比刚才题简单太多了的平方小于等于4X大于等于。X小于等于四是不是X大于等于负二小于等于四，这个是算一个。不等式吗，是不是？呸呸，哎呀呀呀呀，平方去掉了222222。好吧，对吧。哎。OK，那么X大于等于负二小于等于二，然后呢，这个玩意儿呢，说B呢，它说2X小于等于负AX小于等于负二分之A。他说A交B。他说A交B。

A走负二到二。B方X小于等于负二，它俩交完了，大于等于负二小于等于一。他应该长这样吧，他俩才能交出个这玩意儿来吧？这等于一，那么负二分之A等于一吧，是不是你刚好告诉我了嘛，你交完了嘛，所以负二分之A等于一，所以A等于负二，你这这这这个求三太简单了。这都不像一个正经求参的一个题，是不是？好了，过了啊。没什么，说的很简单。来，接下来。接下来最后的时间。

咱们集合就齐活了，集合就没有什么题了，咱们已经讲到这个单位了，没有了，咱们接下来呢，就把一些个咱前面上一讲讲过的期末复习二讲过的啊，给大家稍微的溜一下带一下啊，你看你还能回忆起来不很简单都。啊，比如说。比如说看这个题。看到。2019年的这题不用我说啊。M，这是不是就算一个O的。X方减X减六小于零，这个能算吗？十字交叉相乘法，会吧。二和三负的3X加2X减三。这个会吧。小于零，你只要会算错，这题出来了。负二和三。

咱们上节课讲了吗？讲了吗？各位开口方向向上的二次函数取中间，所以N的范围其实就告诉我们的是X大于负二小于三，哎，N是大于负二小于三，M是负四到负二，它问你它俩相交等于几？这不用我多说了。啊，不细讲这玩意不能洗脚，再细讲就没啥意思了啊。看这个。这个也就这个玩意，二和三负，你这都能算吧。不会私自教他相乘法的，找辅导师要视频啊。我都有说过，一个二一个三，开口方向向上。取大于等于零的部分取两边。所以它的答案是。A的A的范围是X小于等于二或者是X大于零三。

啊，这个没有问题吧，这不用我细说啊。这是第一个第二步，这个是一个分式型不等式，这也咱们讲了吧，上节课分级不等式还怎么办，知道吗？第一步，把右侧变为零，移向通风。是不是？这就不用咱们多说，你看这题从哪来题，这通风。除法变乘法。四减2X括起来乘以2X减一小于零一个等于二一个等于1/2。开口向下。小于零的部分取两边。所以给我们B的东西呢，是X小于1/2或者X大于二。取它俩的交集。

自己算一下去啊。好了，这个题呢，就是分子型不等式。没有问题吧？这都讲过，这都讲过啊，讲过了分子不行，等分不等，是我讲过吗。下过吧。啊。两年后，我表弟来。2X减一不还得乘一个三了吗？2X减一不得乘一个三吗？啥意思啊？通风2X减一乘以三，它是三减去2X减一没有问题啊。没有问题啊，绝对值，不等式我也说过了吧。你看上节课回放吧，啊，这玩意儿绝对。

并不是我们的什么玩意儿，这这太简单了。他俩交一下。好吧。太坦了。咱们这个题也讲过了吧。2021年全国已知文科题讲过了吧？一正二定三等，基本不等式，我上节课应该花了两个小时，一个半小时，至少把基本不等式，其实基本不等式龙哥有讲过，它就相当于一个猪八戒，有36变，变化比较多，但是你要明白一正二定三相等对不对？第一个题它是二次函数，它大于等于三啊，这个跟我没啥关系，这个题呢，它不满足的是三相等。你自己看回放去吧啊。CX的范围，它是大于等于负一小于等于二的，小于等于一的啊。这个其实当。

CX等于二的时候，它才能取到不行，而这个题不满足一证。我讲过吗？各位我讲过吧，这个题这个题讲过吧。是不是？这题都讲过啊，所以只有C对了啊，C呢，长这样。讲过的，这属于讲过，所以你再玩儿再细讲就没啥意思了，是不是？为什么不满足一次？因为X它长这样。Y等于log X log X呢？可以取正的，可以取负的。好吧。Log X是以E为底的，对的，Log以E为底，X就是XE呢是2.7828。全网最细，我龙哥。够细胞看一下回放啊。

这这讲过的啊。讲过的稍微给你说一嘴，你得看回放去。这个题说一下吧，这个题说一下吧。这题我怎么感觉也讲过了呢，没讲过的讲一下二的A次方加二的B次方，我们说了啊，它加它大于等于两倍的这俩玩意。相乘。它加它大于等于两倍，根号下它两个相乘。啊。然后呢，它不就变成了二倍根号下二倍A加B吗。A加B不等于三吗？根号八四倍根号二。知道吧。为什么满足？因为二的X次方它永远大于零啊，永远大于零一正二定满足三相等出来，三相等是当前紧张。能到能到，各位你们看回放了吗？你们前面那节课看了吗？龙哥告诉大家是因为。

基本不等式和我们均就是均值不等式和基本不等式是一个事啊，他俩太重要了，所以我们花了两个小时的时间去给大家讲前面你如果将只花半个小时，一个小时肯定讲不前期呢。当写景，当二的A次方等于二的B次方，也就是当A等于B的时候，A等于B。各自为3/2的手法。他取到等号。好吧。我要饿没了，什么叫你要饿没了，兄弟这一块，如果牛龙哥你这太快了，我跟不上，你跟不上那就对了，因为你前面那讲课肯定没有认真看，前面那讲课你得看个三遍五遍的啊。是不得看看三五的这个配凑，这简直太简单的配凑了，减个一加个一，太简单了。龙哥，你知道有？

多机智吗？前面提前给你花那么大时间讲完了。对吧，最小值是不是等于三。当它取到最小的时候，当前紧张怎么的？数，它俩相等。是不是？X字头等于二。补回放吧，是不是？哎，那你肯定得补回放，不补回放还了得呢。来换音技巧，我相信大家都会来，所有人把这个题做一下，这个题答案等于几，我看看大家会不会所有人自己动手做一下，我给你留时间做一下。说直线过这个点，我感觉我这题也讲过了呢，我肯定不等式里边题我都讲过，太简单了呢，我都讲过了。做下它等于几？会不会？

要不然我们一人一块钱给龙哥买个空调吧，是看到龙哥汗流了是吗？是看到龙哥已经汗流不止了是吗？我已经要快脱水了，兄弟来。算一下等于几，太简单了。看一下大幕。快算题吧，别给龙哥整，那么说那没有用的，你这快干啊干干干啊，别整那没有用的啊。快来啊。他说一二点过它，那么A分之一加B分之一等于一。这第一步吧，哎，B分之二啊。第二个它和2A加B等于几？2A加B是不是要乘以个一啊，换一法呀？一是不是等于它等于一，是等于它。

哎呀。做对了吗？各位你们它和它约掉等于二，它和它约掉等于B分之四A，它和它约掉等于A分之B，它和它约掉等于二大于等于四加上二倍的根号下。这就皮毛的，太简单了。四加二乘二各位，你们是不是有这种感觉，会的不难，难的不会啊，是不是难的不会，不是会的不难，难的是不会，对不对？哎，算对了吗？当且紧，当自己想算算一下去，我都有讲过，我上节课的时候呢，我又给大家也讲了。哪些题是不满足的，我们99%的都是满足这个的哈。好了，齐活，我们今天的所有内容齐活。换法给大家说一下，大家自己做一下这个题，第二题做一下。堂堂做的第二。

二级如果它不等于一的时候怎么办？就做第二题就可以了，第一题不用管第一题选啥，第一题选A，这个太简单，我不想说啊，你们也不用做做第二题。说如果它等于二，你换一法怎么用啊，各位会吗？会的，做一下，所有人动笔做一下，我现在发堂堂测，兄弟们啊，我发堂堂测。做，我给你两分钟时间做一下。如果你要是不会第二问，你要不会第二个题，你抓紧给我看上节课回放去啊，抓紧，兄弟们，你得抓紧。你得紧，你得抓紧，兄弟们啊。来，我准备发了啊，第一个题选A，因为太简单了，你直接出看第二题发我不给你做了，自己做吧。

啊。X加Y等于二，那么也就是我们两边除以个二吧。第二步，X分之一加Y分之四，我们要给它乘以个一。一等于它，它等于一。这不就出来了吗？你们做对了吗？大于等于二。五加上二倍根号四等于几？做对了吗？做对了没？所以它等于9/2，选B啊，选B。所以兄弟们得得做啊，你得学，你得练会你这玩意儿，你这手拿把掐了，你这玩意儿，不掐他掐谁呀，掐我呀啊。

课后十道题做一下去，一定能做，一定会做。黑马题很简单，必须做必须做啊，集合的黑马题也有了，必须做必须弄啊。呃。看一下表扬榜。我要看的是这个堂堂测的表扬榜在哪里？堂堂测的表扬榜看到了吗？看不到了是吧，看不到不看了。看一下啊。学分排行。学排行，看有没有龙战队，以战队名的什么。龙战队命名的，没有下一页，哎，龙战队吴泽航。

从秋流怎么感觉有点熟悉呢，这个玩意儿。哎。你们看看这都是谁？龙战对XQR，哎哟呵。恭喜这几位啊，非常厉害啊，学分排行榜，今儿你们今儿多少连？兄弟们，你们今儿多少连？互动题的表榜。互动题的表法。龙战队卑鄙如赫。好吧，哎。听听吧啊，到了最后发个学分红包，还没发学分红包，是不是发个学分红包先。然后呢，到了最后呢，再说一嘴啊，再说一嘴。

咱们一会儿不是有半个小时的视频课程吗？常用逻辑用语，大家自己看去啊，你像这种题，它说命题的否定呀，命题的否定形式呀，你看你之前学的还好不好呀，这都讲了啊，然后呢，这种还有这种关于你比如说我们说充分必要条件呀，重要条件呀，诶不拉不拉的这种怎么怎么地了，好吧，大家自己看回放就可以了好不好，今天我们的课程就到这儿，大家下去把咱们的课后四道题，把黑板标的题做起来，用起来，好吧，然后呢，除此之外，咱们明天记得各位明天记得我们讲地域值域以及求解A次，你看龙哥给你讲的怎么样就完了好不好？然后呢，所有人今天，哦，对了，今天晚上08:20，昨天没有听的话。

哥，今天再想听一遍的，08:20记得不见不散与大家好吗？各位拜拜呀，明儿再见信龙哥，我坎坷全网最细，我龙哥呀。