大家好，从这一节开始，我们进入第四章向量空间。向量空间起源于线性方程组解的研究，所以从这一章开始，我们介绍 n 元向量的概念，线性相关性、线性无关性，并建立向量空间的理论。以此为基础，我们来讨论 n 元线性方程组解的结构。首先我们来看， n 为向量的概念。

大家都知道，在平面上建立坐标以后，一个点我们可以用一个二元的有序数对来表示。在 R3 中，那么建立了直角坐标系以后，空间中的点我需要用一个三元的游序数对来表示。但是在实际问题中，许多量的表达我们需要借助于多于 3 个的一些分量，比如说我们要来讨论一个求的大小及它的位置，那么我们就需要这个球的坐标以及它的半径。

好又比如我们前面学过一个 n 元线性方程组的解，就是一个 n 元的游序数。对一般的来说，我们有如下的定义，术语， p 上的一个 n 元的永续数组，A1，A2， a n 称为。数域。 p 上的一个 n 维向量，这些数 a i 就称为该向量的分量或者坐标。

如果这 n 个数都取自实数，那么这个向量我们就称它是一个实向量。如果都取自负数，我们就称它是一个负向量。当然特别的，如果所有的分量均为0，那么该向量就称为 0 向量。那么对于向量，我们经常用的有如下两种形式，如果我把向量的分量从上往下排列，这样的向量我们称它为列向量。那么分量按从左到右排列，我们称之为航向量。很显然，向量我也可以给它看成什么呢？ n 维的列向量我们也可以理解，它是一个 n 乘 1 的矩阵。 n 维的航向量我也可以理解为 1 乘 n 的一个矩阵。向量的表示，一般我们用黑体的字母、阿尔法、贝塔、伽马等来表示。对于同为的向量来说，我们可以定义向量的运算，包括向量的加法和速成。

当然加法是什么呢？两个向量相加，就是对应分量相加数乘用一个 k 乘以向量，阿尔法就等于用数 k 去乘阿尔法的每一个分量。当然当 k 取- 1 的时候，比如说我记 Alpha 等于A1AN，那么我用- 1 这个数来乘以Alpha，根据数乘的定义，它就是用- 1 来乘每一个分量，所以这负的A1，负的an。这个向量我们称为是向量，阿尔法的负向量。

有了负向量，我们就可以定义减法，阿尔法减去一个向量贝塔，就等于对应分量相减好了。那么从这个定义很容易可以验证向量的运算满足 8 条性质。那么简单说一下了，向量的加法满换率，满足结合率，并且，阿尔法加上负阿尔法当然等于 0 向量，因为它每一个分量都取0，然后加法对数乘，满足分配率，满足这个结合率。等好了，这几条性质，大家可以自己下去验证一下。

有了向量的这个概念，我们对前面的方程组，以及矩阵等等可以很简单的来表示。比如说，我们看这样的一个线性方程组， a r e x e 加上 a r x r， a r n， x n 等于 b r， a m， e x e 加上 a m r x r， a m，n， x n 等于 b m。

对于这样的一个线性方程组，那大家注意了，如果我把 X1 前面的系数从上到下 A1 121 到 a m 1，这 m 个数组成的一个有序数。对，我把这个 m 为的向量记为阿尔法1， X2 前面的系数组成的向量，我记为阿尔法2，以此类推， x n 前面的我们记为阿尔法n，那么我把常数列构成的向量我记为贝塔。那么根据分块矩阵的乘法，这样一个线性方程组我们就可以写成什么呢？就可以写成如下的一个形式， X1 Alpha 1 加上 X2 阿尔法 2 加到 x n，阿尔法 n 等于贝塔。所以以后我们在写线性方程组的时候，一般情况下我们就写这种很简洁的表示是，好。

那么再比如，对于矩阵，我给定一个矩阵a， A R E R R N， A M E m r m n，给定这样一个矩阵，定义贝塔 i 就等于该矩阵的第二个列的元素构成的向量，那么就等于 A E I R I A M I。好，那么这个列向量 m 为的列向量，当 i 从 1 取到 n 的话，这就是一个向量组。这个向量组中第二个向量恰好是 a 的第二个列，所以把这个向量组就称为是 a 矩阵的列向量组。

同理，如果我取Alpha，i，取 a 的第二个行，那么就是 a i e a i n 从 e 到m。好在这个向量组中第二个向量是 a 的第二个行构成的，所以把这个向量组称为矩阵 a 的航向量组。

于是，利用向量的这个概念，我们可以把线性方程组以及矩阵等等概念加以简化。好了。有了向量的概念，那么一个很自然的问题就是，如果我把多个同为的向量放到一起，它们之间会有什么样的关系？为了研究这个关系，我们来看， n 为向量组的线性相关性。

好，那大家注意一下，我们都知道了，在平面上，如果两个向量阿尔法贝塔贡献的话，这个我们知道是什么意思，一定存在某一个数 k 使得阿尔法等于 k 倍的贝塔。或者反之，也就是说什么意思？也就是说我一定可以存在一个 k 使得阿尔法等于 k 倍的贝塔，或者存在某一个，数 l 使得贝塔等于 l 倍的阿尔法。

那同理，在空间 R3 中，我们知道如果，画一个简单的示意图，好了，如果这里有两个向量阿尔法贝塔，好，那么还有一个向量伽玛与阿尔法贝塔共面的话，那我们知道根据平行四边形法则，我可以将伽马分解到阿尔法和贝塔的方向。于是就是说，我们一定可以找得到，若伽马与阿尔法贝塔共灭，我们就可以找得到树。

k 和l。使得什么呢？使得伽马可以在阿尔法与贝塔的这个方向上来分解，也就是说使得伽马就等于开贝的阿尔法加上 l 倍的贝塔。好，那么在一般的 n 维空间上，这样的关系就表示为线性组合的关系。所以首先我们来看一个向量，可以由其他的向量的线性组合表示，这个概念就是线性表出的概念，所以我们来看线性表出或者叫线性表示。先给出一般的定义，设，有一个向量组，阿尔法1，阿尔法n，贝纳，每个向量均为 n 维的向量，那么在这里我们要说明一点，我们讲的向量，除非特别的说明都指 10 向量好。若存在一组数， K1 到 k n，使得，贝塔可以表示为 k e 阿尔法 1 加 K2 阿尔法 2 加到 k n，阿尔法n，我们就称，向量贝塔。可由向量组，阿尔法 1 的阿尔法 n 线性表出，或者叫线性表示。我们也称贝塔是阿尔法 1 到阿尔法 n 的线性组合。由这个定义，我们可以得到以下几点，那么大家考虑，任意给定一组向量，阿尔法 1 到阿尔法n。

如果我贝塔取乘 0 向量同为的 0 向量的话，那么很显然，如果我这里所有的 k i 都取成0，那我就会得到 0 向量可以由任意一组向量线性表出。

第二个我们来看，那么对于任意的给定的一组向量，阿尔法 1 到阿尔法n，我们有，那我取阿尔法 e 到阿尔法 n 中的任意一个向量阿尔法i。我们会发现，很显然，我阿尔法 i 可以用它们如下的表示， 0 乘以阿尔法1，除了阿尔法 i 前面的系数取1，其余系数全取0。于是我们得到什么呢？给定一个向量组以后，该向量组中的任意一个向量可由这个向量组线性表出。

再来看，大家看这样一个一组，向量一部分 1 等于第一个分量为1，其余全为 0 的 n 为向量。一种， 2 为，只有第二个分量取1，其余全为0，以此类推。第 n 个我们记为1。部分 n 就是只有第 n 个分量为1，其余全为0。那么大家看这一组向量组有个什么样的特性？我们任意给定 n 维的列向量阿尔法，我们记它的分量为A1， A2 到an。不难看出，这个阿尔法可以由这一组向量线性表出，并且伊捧爱前面的系数恰好是阿尔法的第二个分量，也就是我们得到阿尔法就等于A1， if 从 1 加A21，从 2 加到a， n 1 从 n 好。只是对任意的一个 n 维的列向量都有这样的表示，因此我们把这样的一组向量，我们称为 n 维的基本单位向量。

好了，这是线性表示或者说线性表出的概念。那么我们自然就有这样的一个问题了，我给你一组向量，那么如何判断一个向量能不能有所给定的一组向量线性表出？我们来看这个问题。由定义我们知道，如果向量贝塔能由这一组向量阿尔法 1 到阿尔法 n 表出，那就意味着有一组数 k 1 到 k n，使得贝塔可以写成阿尔法 1 到阿尔法 n 的这样的线性组合。我们来看第 4 点，给定一个向量组，阿尔法一早阿尔法恩，那么在给定任意一个向量贝塔，贝塔可由向量组阿尔法1，阿尔法2，阿尔法 n 线性表出，或者叫线性表示当且紧当，那么由定义我们知道贝塔可由他线性表出，那么就意味着或者说当即仅当存在一组数 K 1 到 k n，使得贝塔可以写成阿尔法 1 到阿尔法 n 的线性组合。

那么根据这个表达式，我们很容易看出这其实就是什么呢？就是如下的线性方程组， X1 阿尔法 1 加X2，阿尔法 2 加到 x n，阿尔法 n 等于 beta 由解，那么这一组系数 K1 到 k n 恰好构成这个方程组的一组解的话，那么贝塔就可由他们先行表出。反过来，如果这个方程组有解，就是存在数K1， K2 到 k n，使得这个关心是成立，也就是贝塔可由他们先行表出，所以这是一个比较明显的一个冲要条件了。

好了，根据线性方程组解的讨论，我们知道这个线性方程组有解当且仅当该方程组系数矩阵的质，也就是阿尔法 1 阿尔法2、阿尔法 n 构成的系数矩阵的质等于其增广矩阵的制，阿尔法一 Alpha N Beta。好了好了，那么进一步，如果贝塔由阿尔法 1 到阿尔法 n 线性表出，并且表达式唯一的话，那么也就是说这个方程组要有唯一解，有唯一解当且仅当稀熟矩阵和增广矩阵的质箱等，并且等于未知量的个数。这里的关系是给出了判断一个向量能否有一组向量线性表出，它和线性方程组解的判定之间的一个关系，那么这里又将这个概念和矩阵质的关系联系起来好了，我们可以通过方程组解的判定以及矩阵质的比较来判断一个向量能否由一组向量线性表出。下面我们就具体看一个例子，设阿尔法一等于 12- 31 转至 Alpha 21- 363 的转至阿尔法2， 3 就等于 2- 13 新的转折，贝塔等于六七- 98 转去。好了，现在问，贝塔能否，由向量组 Alpha 1、 Alpha 2、 Alpha 3 线性表出，如果可以给出表达式，给出一个表达式。

好了，我们一起来看。由前面的定理我们看出，要判断贝塔能否由阿尔法 1 到阿尔法 3 线性表出，其实就是要判断以阿尔法1、阿法2、阿尔法 3 为系数矩阵所构成的这个线性方程组是否有解？所以我们就设 X1 阿尔法 1 加 X2 阿尔法 2 加 X3 阿尔法 3 等于贝塔。

好了，利用分量对应相等，我们就可以得到如下的一个具体的方程组，X1，第一个分量 X1 乘以1，再加上 x 2，然后再加上二倍的X3，就等于贝塔的第一个分量6。然后来讨论第二个分量，二倍的 X1 加上- 3 倍的 X2 减去 X3 等于7，- 3 倍的 X1 加 6 倍的X2，再加 3 倍的 X3 的49， X1 加 3 倍的X2， 4 倍的 X3 等于8。

好了，也就是说我们要判断这样一个线性方程组有没有解，如果有解，那么它的解是否唯一，然后我们需要给出一组解好了，那么根据方程组解的这个结构的讨论，我们知道我们写出它的增广矩阵 11262- 3- 17- 363- 91348。然后我们要讨论它有没有解，就是要看这个增广矩阵和由前面的这三个列构成的系数矩阵的质是否相等，那么我们根据初等变换可以得到。利用初等行变换我们就可以得到这个矩阵，我们可以写成如下的一个形式，我们可以变换成一个如下的阶梯形，N。

好了，那么根据这个结果我们可以得到，因为对这个线性方程组来说，我们看到系数矩阵的质等于增广矩阵的制，并且等于2，那么是小于它的未知量的个数3，因此该线性方程组有解并且解不唯一，所以我们就得到贝塔。可由向量组阿尔法1、阿法2、阿尔法 3 线性表出，并且表达式不唯一。并且表达式不唯一，那么我们要给出表达式，也就是要给出这个方程组的一组解，要给出一组解，我们写出它的重解方程组为 X1 加上 X3 等于5， X2 加 X3 等于1。方程组的解围。

好，我们取 x 三维自由微剂量，那么我们就得到 X1 就等于 1 减去， c x， r 就等于 S1 等于 5 减去 c 好， X2 等于 1 减去c， x 三取自于未知量c，其中。 c 为任意的常数，或者说任意史书。好了，所以我们就可以给出贝塔由阿尔法 123 线性表出的一种表达式，就是 5 减 c 阿尔法 1 加上 1 减 c 阿尔法2， c 倍的阿尔法3。其中 c 为任意的一个常数，给定一个 c 就得到一种表达式，这是线性表出的概念，以及如何判断一个向量能否有一组向量线性表出。