同学们大家好，这节课我们来学习地图投影的基本理论，主要内容包括地图投影的概念、地图投影的变形和地图投影的分类。这是我们生存的家园。地球。地球是一个不可展曲面。所谓不可展曲面，即不能将其直接展开成一个连续的平面。否则的话，会产生不规则的褶皱和裂痕。而这是我们平时所使用的世界地图。显然，地图是绘制在一个连续的平面上。因此，用地图表示地球的全部。

一部分，就产生了一对矛盾。即不可斩的第九曲面与连续的地图平面之间的矛盾。为了解决这一矛盾，就诞生了帝都投影。这就是说，通过地图投影，可以将不可展的地球曲面上的各种地物、地貌和现象变换到连续的地图平面上去。当然，我们都知道，地球自然表面高低起伏，极不平坦。是一个极不规则的曲面。在这个曲面上，我们是没有办法对测量数据进行计算的。但是人们通过长期的观察与测量发现。地球表面接近于一个以椭圆短轴为旋转轴的椭球面。

砖椭球面是一个纯数学表面。可以用一个数学方程来表达。在这个曲面上可以进行各种运算。因此，在地图投影中，通常将地球用一个旋转椭球面来表示。称之为地球椭球面。而在某些情况下，比如编制比例尺比较小的地图时，则可以忽略地球椭球的点率。而用符合一定条件的正球体来表示地球。那么，地图投影到底是如何将地球面上的经纬线网、地物要素等转换到地图平面上去的？主要有两种方法。一种是几何透视的方法，一种是数学分析的方法。几何透视法。

是建立在透视学原理基础之上。我们可以设想，地球是一个透明的球体。在地球的球心处放置一个点光源。点光源发出的光线将地球表面上的经纬线、地物、地貌等投影到了圆柱面上。然后将圆柱面展开成平面，即完成了地图投影。这就是我们后面将要给同学们介绍的圆柱投影。除此以外，成影面还可以是平面，即为方位投影。成影面是圆锥面，即构成圆锥投影。几何透视法只能解决一些简单的由地球椭球面到地图平面的转换问题。具有较大的局限性。比如，不能将全球。

录下来。因此，随着数学分析这一数学分支学科的出现，人们开始普遍采用数学分析方法来研究地图投影。其原理就是要通过数学方法来直接建立地球椭球面与地图平面上相应点的坐标间一一对应的函数关系。事实上，不管是几何透视的方法，还是数学分析的方法，它们的本质是相同的。都是要建立地球面上的点的坐标与地图平面上对应点的坐标之间一一对应的函数关系。这就是地图投影的实质。因此，我们将地球表面上的点、经纬线、各种第五要素等变换到地图平面上的。

统称为地图投影。从字面上来看，帝都投影中的投影主要指的是几何透视的方法。这主要是由于人们一开始是使用几何透视的方法来研究地图投影。而实际上，真正采用几何透视原理的地图投影是比较少的。绝大多数是使用数学分析方法来解决地球曲面到地图平面的变化问题。因此，地图投影学又称为数学制图学。地图投影再将地球表面上的经纬线、各种第五要素等变换到地图平面上的过程中，会产生什么问题呢？大家来看在这幅世界地图上。用。

橙色表示的三个区域。在地球椭球面或球面上，由于它们具有相同的金叉和纬差，因此它们的形状、大小是完全相同的。但是投影到地图平面上后，却产生了明显的差异。这是由于地图投影存在变形所致。地图投影的变形包括长度变形、面积变形和角度变形。首先来看长度变形。设地球面上某一无穷小线段AC。其长度为，比S。投影到地图平面上为无穷小线段a撇、C撇，其长度为DS1撇。长度比就等于无穷小线段AC投影后与投影前的长度之比。即DS1撇比上DS。

长度变形，则等于长度比减一。长度比或长度变形是一个变量。不仅随点位变化，而且在同一点上随方向变化而变化。虽然长度变形无法消除，但是我们可以使某一特定方向上的长度比等于一，只在该方向上没有长度变形。比如说，在正轴投影中，规定沿经线方向上的长度比等于一。我们把这种投影称之为等距离投影。使某一特定方向上的长度比等于一，这实际上是等距离投影的条件。同理，面积比就等于地球面上某一无穷小四边形abcd。投影后与投影前的。

面积之比，即 Df1撇比上DF面积变形，则等于面积比减一。面积比或面积变形也是一个变量，但它只随点位的变化而变化。在某些情况下，我们可以将地球椭球面或球面没有面积变形的投影到地图平面上。即投影前后面积相等。这种投影即所谓的等面积投影。此时，必须使面积比P等于一。这实际上就是等面积投影的条件。而角度变形则是指地球面上任意两方向线的夹角，投影后与投影前的角度之差。角度变形也是一个变量。它随点位和方向的变化而变化。

所以随方向发生变化是指同一点上任意两方向线的夹角会随着方向线的转动而产生不同大小的角度变形。当转动至某特殊方向上，其交差具有最大值，称为该点上的最大角度变形。在某些情况下，我们可以使地图投影不发生角度变形。把这种地图投影称之为等角投影。此时最大角度变形等于零。这就是等角投影的条件。地图投影的变形无法完全消除。但是可以保持个别点和线投影在平面上不产生任何变形。比如，投影平面与地球相切于某点。

该点既在地球面上，也在投影屏面上。因此该点投影后不产生任何变形，圆锥面与地球相切于某纬线圈上。圆柱面与地球相切于赤道，显然，这些相切的纬线投影后均无变形。在地图投影中，将没有变形的纬线称之为标准纬线。最后我们来介绍一下地都投影的分类。帝都投影的产生和发展有2000多年的历史。现在已有260多种投影。关于地图投影的分类有多种看法。目前有两种分类方法被大家所普遍认可。一种是按投影的变形性质分类。另一种是按正轴投影经纬线网的形状分类。

按变形性质将地图投影分为等角投影、等面投影和任意投影。等角投影，没有角度变形。在微小区域内，地球面上的形状与投影后的形状保持相似。但其面积变形比较大。等面积投影没有面积变形，能够保持投影后面积与地球面上相应面积相等。其角度变形比较大。而任意投影呢？即同时存在长度变形、面积变形和角度变形。在任意投影中，有一种重要的投影叫等距离投影。该投影在一组特定的方向上，没有长度变形。按正轴投影经纬线网的形状，地图投影又可分为方位投影、圆柱。

投影、圆锥投影、方位投影、圆柱投影。和尾圆锥投影的。正方位投影时，纬线圈投影为以投影中心为圆心的一组同心圆。金线圈投影为通过投影中心的直线。且两经线间的夹角投影前后保持不变。正圆柱投影时，纬线投影为一组平行的直线，经线投影为与纬线正交的另一组平行直线。且两经线间的间隔与相应的精度差成正比。正圆锥投影时，尾线投影成以圆锥顶点为中心的同心圆弧。金线投用为同心圆弧的半径，两经线间的夹角与相应的金叉成正。

完毕。所谓伪投影，是不能像前面几类投影可由几何概念产生。它不能用一个几何投影面与地球面相切或相隔来形象表示。而是通过规定经纬线在平面上一定的表象而产生。在正轴情况下，尾方位投影纬线描写为同心圆。经线描写为对称于中央经线的曲线。且交与纬线共同中心尾圆柱投影纬线描写为一组平行直线。中央经线为垂直于各纬线的直线。其他经线描写为对称于中央经线的曲线尾圆锥投影尾线描写为同级圆弧中央经线。

纬线圆心的直线，其他经线描写为对称于中央经线的曲线。事实上，地图投影除正轴投影外。根据投影面与地球面的相对位置不同，还包括横轴投影和斜轴投影。根据投影面与地球面切与割的关系，又可分为切投影和投影。关于帝都投影的基本理论就介绍到这里。