说话人 1 00:05

评委老师大家上午好，今天我授课的内容是五年级上册第五单元方程的意义，下面开始我的授课。同学们，你看到什么了？有苹果，有橙子，有草莓，还有两个砝码。我发现你们对砝码的描述特别不一样，还关注到了砝码的个数，能不能继续像这样用数学的眼光发。再来看看这些事物，苹果是一个，橙子是一个，草莓有 5 个，还有吗？诶，他说苹果的数量比草莓的数量要少，这就不仅仅说到它的个数了，说到了个数，苹果的个数与橙子的个数之间的关系，那这些物品除了个数之间有关系，还有什么之间有关系吗？你说 100 克的砝码比 200 克的砝码要轻，你关注到了他们在质量上的关系，还有吗？如果老师告诉你买苹果花了多少钱，买橙子花了多少钱，那他们在价格上也会存在一定的关系。在数学上，我们把像这样的关系统称为数量关系。那我们再来看看刚才你们一眼就能理出砝码之间的质量关系。如果要看这些水果能看出来吗？一眼就能知道，一个草莓肯定比一个苹果要轻，一个草莓肯定比一个橙子也要轻。

说话人 1 02:06

那如果我想知道苹果和橙子之间在质量上的关系怎么办？好像有点不太确定了，对吧？那我们就得借助一个工具，比如它把它们往天平上移动。诶，天平就开始说话了，他告诉了我们一个数量关系。什么呀？对，苹果的质量比橙子的质量要重一一些。看来天平的确是个不错的工具，今天这节课我们将继续来天平上进行研究。

说话人 1 02:48

准备好了吗？天平要开始说话了，噔噔噔噔，看图说话，谁会你来？这里表示的是一个 100 克的砝码加上一个苹果的质量，比一个 200 克的砝码要7。很好，这个时候我们描述了三个量之间的数量关系。说得很清楚，不过作为数学老师，我有一个不一用的方式来描述它。请看，能看懂吗？是的，苹果的质量他不知道，所以我用了字母 a 来表示。

说话人 1 03:34

100 加 a 大于 200 能不能表示天平现在的状态？可以，那我有一个疑问，为什么这里用了一个大于符号？是天平现在没有平衡，它表示的是一种不相等的数量关系，所以我们用上了大天平，有可能平衡吗？是的，像你们想的，换个水果试试好不好？看图说话，你来一个 100 克的砝码，加上一个草莓的质量，比一个 200 克的砝码要轻一些了，猜猜我会怎么描述？对，我会用式子描述，如果用字母 b 表示草莓的质量，你能知道老师会怎么说这个式子吗？对， 100 加 v 小于 200 天平还是没有平衡，再换。

说话人 1 04:43

这一次我看到你们，我听到有同学已经说了一个式子了，为什么选我？这样表述更简洁对不对？好，这个式子是什么？谁能再来说一说？你说 100 加c，如果用 c 表示乘以的质量， 100 加 c 等于200，这一次怎么发生了这么大的变化？刚才用的是大于小于，这里变成了等号，为什么呀？因为天平衡，它左右两边的量就相等了，这个时候天平反映的是一个相等的关系，所以我们用等号来表示它的左右两边。诶，数加起来也是相等的，这是一个等式，我们用这样的等式来表达天平衡的状态，像这样的数量关系，我们把它称之为等量关系。

说话人 1 05:54

这个时候老师想问问你们了，你知道橙子的质量了吗？知道是多少？ 100 怎么知道的？因为它相等，对吧？那我还想知道草莓有多重，也称看好吗？诶，一个草莓还没有平衡，用一个式子，你们一起说 b 小于100，那再棒二， b 小于100，这个时候知道草莓的质量了吗？还要放，是不是 3D 小于 100 知道了吗？还不保4B。

说话人 1 06:46

什么呀？等于100，这一次为什么又用上了等号？因为天平衡了 4 个草莓的质量，它就等于一个 100 克的砝码的质量，这是一种等量。是的，那这个时候草莓的质量知道了吗？怎么前面 3 次都不知道，这个时候却知道了？看来等量关系非常有价值。now，我们继续来研究等量关系，可以吗？老师在天平上继续称，唉，发现这个时候天平又平衡了，你能找到其中的等量关系吗？你说 c 加 200 等于 a 加100，它表示的等量关系是，橙子的质量加上 200 克的砝码，等于苹果的质量加上 100 克的砝码，对吧？看来只要天平衡，我们能找到等量关系，就可以用一个等式来表示。

说话人 1 08:09

那如果没有天平，你还能找到能量关系吗？这个时候有困难，因为袋鼠和青蛙它们跳的距离不相等，对吧？那有没有办法用 a 小于 12. 8 来表示？那有没有办法让它相等？再告诉你一个条件，可以吗？比如这儿现在可以表示了吗？你说 a 加12， a 加 b 等于 12. 8，这里表示的意思是青蛙跳的距离加上它们相差的距离，就等于袋鼠跳的距离。没错，找到了相等关系，就能用一个等式来表示。

说话人 1 09:07

再看看如果让青蛙多跳几次，是不是又有新的。你说 4A 等于 12. 8，也就是青蛙跳 4 次的距离，就等于袋鼠跳一次的距离。还有你说 3A 等于b，这里表示的是青蛙跳 3 次的距离就等于它们相差的距离，对吧？你们真厉害，没有天平也能找到这么多的等量关系，再来一个试试好不好？来了，这里边有怎样的关系吗？你说， 67 + 93 = 160，那你表示的是，乌龟跑的爬的距离加上它们相差的距离，就等于兔子跑的距离，对吧？那我要问问你了，如果乌龟跑的距离不知道，你还能用一个等式表示吗？你说 x 加 93 = 160 真的可以，那如果相差的距离也不知道 x 加 y 等于160，如果兔子跑在这里也不知道 x 加 y 等于z，也就是说，不管这个里边几个量知道，几个量不知道，都可以表示乌龟爬的距离加上相差的距离等于兔子跑的距离。

说话人 1 11:17

它们之间的等量关系一直没有发生变化，你们真了不起，在这么短的时间内找到了这么多的等量关系，并且还写出了这么多的等式。a，同学们看看，在你们刚才写的这些等式中，有一个它最特别是他，除了他以外，其他的这些等式他都有一个共同的名字，叫做什么？对，方程。那你看看它有什么不一样？对，它的这三个量都是已经知道的，而这里边出现了不知道的量，像这样含有未知数的等式，我们才把它叫做方程。那说了这么多，你能不能这里边的等量关系来列出方程？好，请我知道你们早就跃跃欲试了对不对？请你拿出你抽屉里的作业纸，完成这几道题。

说话人 1 12:40

5 分钟够吗？好，开始行动。好，同学们，时间到，请看。第一个，谁来告诉我怎么做的？ 98 x 加 98 等于188。那在这里边你找到的导慢关系是什么呀？上衣的价格加上裤子的价格等于总价格，找到等量关系就能列出方程，很好。第二个，你来 13 加 x 等于2513，表示的是原来有的乘客的人数，加上到学校的时候，哎，有一些人上车了，然后现在一共有 25 人这样。其实顺着这个题目写一遍就写出来了，对不对？它的等量关系就找到了。第三个，你说， A 36 减 a 等于28，这里表示的是爸爸的岁数，减去天天的岁数就等于他们相差的岁数。对，你说你有不一样，你说哦， a 加 28 = 36，怎么回事？你找到的等量关系有一点不一样，是吗？这里的 a 是天天的年龄，加上它们相差的年龄就等于半大的年龄，可以吗？也是可以的，只是形式有一点点不一样，所以列出来的方程就也有那么一点点不一。

说话人 1 14:42

Yup 第四个，怎么这么多同学刚才那么积极，这回不举手了，写不出来。我看到还有两个，你说， 28 加 add the 大于30，这一回儿为什么用了大于？好，你来补充妹妹的重量加上书后的重量比哥哥要重了，那你们为什么不写？对，要是等要关系才能写出方程，它不是一个等式对吧？那是老师的问题，如果我告诉你他重多少千套，能不能写出来？比如妹妹背上 x 千克重的书包后，就比哥哥重的 1 千克，能不能写出来？哦，那就等于 28 加 x 减 1 = 30，是这个意思吗？那就让他把题目改了好不好？电脑听话，一点，也不听我的指挥。他不把它改成1，改成了y，你知道它是什么意思吗？这个量是不知道的，就可以用一个字母来表示同意吗？只是这个时候跟刚才的这个字母对不一样。

说话人 1 16:25

那这个时候你能写出方程吗？嗯，试试看好不好？你说 28 加 x 减 y 等于30，妹妹背的书包 a 妹妹的重量加上书包的重量，再减去重一些的，就正好是哥哥的重量了，对吧？真厉害，你还有不同，你说 28 加 x 等于 30 加y，这里是什么呀？妹妹的质量，妹妹的重量加上书包的重量，背上书包了就等于哥哥，哎，哥哥再增加 y 切口就跟他们一样重吗？了不起。

说话人 1 17:16

看来只要找到等量关系，我们就能写出方程。那老师有问题想问了，我们回过头再看看龟兔赛这道题，你还记得你们练了一个什么样的方程吗？等于z，我们用一个这样的方程表示了这三个部分之间的关系。那我要请你想想，我们刚才做的这些题，能不能也用这个式子表示他们每一个部分之间的 2 分钟的时间？你们自己先想一想，我们等会交流可以吗？想好了对不对？我们来看可以吗？ 4 加 y 等于 z 可以吗？只是这里有什么对他不知道的？是上音的加个 x 不知道，而 y 跟 z 是知道。

说话人 1 18:27

第二个，这一次 x 相当于乘客的人数， z 相当于现在的人数，而 y 是不知道的也可以，对不对？第三个，这个有点不像这个 a 是天天的年龄加上相差的年龄，那这里 a 天天的年龄不知道，其他两个量是知道的，是不是也是这样一个意思，没想到不同的等量关系居然还可以用同一个方程share。

说话人 1 19:08

第四个，可不可以？这个问题留着给你们课后再去好好思考，可以吗？好，今天这节课我们就先上到这里，接下来我将从对教材的研究，对学生的研究以及我的探索三个方面来进行教学阐述。首先是第一个方面，对教材的研究。在人教版五年级上册的教材上，教材是以连环画的形式呈现了我们今天要研究的内容，让学生不断的在天平上更换物品，首先引出了等式，然后对比了不等和相等，从而引出了含有未知数的等式未方程概念的揭示，做了充足的准备。那么同时我研究了其他几个版本的教材，发现苏教版的教材跟我们的编排形式基本一致，也是在天平上，通过称量来揭示不等式和等式，让学生感受到不等关系和相等样关系。

说话人 1 20:31

跟我们的教材版本区别比较大的是北师大版的教材，它的方程是从等量关系切入的，在这节课之前，他特别有一节专门的课就讲到什么是等量关系，由此可见，等量关系是我们今天这节课方程概念的一个非常重要的相关概念。那么值得一提的是， 3 个版本的教材都是在让学生经历了充分的积累了充分的感性认识之后，再揭示概念了。

说话人 1 21:10

由此我们可以知道，今天这节课我们要告诉学生的绝对不仅仅是含有未知数的等式教方程这样一个概念，而应该注重方程的实实质。那它的实质是什么呢？就是用数学符号表达了客观世界中的等量关系。第三个，第二个部分就是对学生的研究，在研究过程中，在我读到的基本概念与运算法则这本书，也就是史林中先生的一本书中对于方程的一个描述。他说到方程是小学生接触到的最为抽象的概念，其实在我们的教学中我们有感触到，其实学生他不难从形式上去判断一个式子是不是方程，那为什么他说他是最抽象的？因为他这个抽象的过程很重要。

说话人 1 22:12

在我们之前的学习中，其实接触到了很多类似方程的雏形，也就是说如果你给学生一个方程，他虽然不知道 x 加 1 = 7 式方程，它可以这样的一个是形式，它绝对知道这个未知数，它没有出现在等号的后面，跟我们之前的算式它是有区别的。所以对于学生而言，从形式上来判断一个等式是不是方程是非常简单的，但是它的困难就在于难以感悟到方程描述的是客观世界中的等量关系，因为我们今天用到的这个等号，学生在之前用的很多，但大部分时候他是用来干嘛的，他是用来写计算的结果，并不是表示两边的量相等。那么另外一个不同就是在这一个式子里，它含有未知数。学生知道未知数就是还没有求出来的数，但是他肯定还察觉不到，这里是已知表用数。已知数表示的量和未知数表示的量之间，它们存在等量关系，所以这就是学生最大的困难。

说话人 1 23:28

基于以上对教材的研究和对学学生的研究，我从以下三个方面进行了教学探索。一、从关系到等量关系，直击数学视角。2、从天平到多种情境，感悟方程本质。3、从表达到结构对比，渗透模型思想。首先是第一个探索，从关系到等量关系，直击数学视角。刚才我们其实已经说到，等量关系是这节课的一个核心概念，是方程概念相关的一个非常重要的概念。那既然等量重，等量关系很重要，什么是等量关系？怎么样的关系就叫等量关系。学生要了解这个，那势必就先得了解一个事情，什么叫做数量关系。其实我们在之前的学习中，学生经常会遇到数量关系，但是我们很少把它特别拿出来讲，给它概括出来什么叫做数量关系，而我认为在这里的概括是非常有必要的，因为你如果不把它概括出来，学生就只能靠自己的悟性，我悟到了什么程度就是什么程度。今天你老师说什么就叫含有未知数的等式，就叫方程，其中等式表达的就是等量关系。那什么是等量关系呢？纯靠他自己的理解，所以我们很有必要把他的概念拿出来给学生分享。

说话人 1 24:56

所以在今天一开始上课的时候，我就提示学生，我们生活中经常说到的谁比谁多，谁比谁少，其实就是在描述个数之间的关系，这就是数量上的关系，包括重量上的、价格上的。让学生学会用数学的眼光来观察我们客观世界，能够从不同的角度去发现量与量之间的关系。由此有了这样的基础，我们再来认识不等关系和等量关系，学生就水到渠成了。

说话人 1 25:31

第二个努力是从天平到多种情境感悟方程本质。在张殿朱克赛斯教授关于方程概念的一篇文章中，他特别说到方程概念的核心是要求未知数，并且给方程新下了一个定义，叫方程是为了寻求未知数，在未知数和已知数之间建立起来的等式关系。由此可见，等量关系的价值值得我们重视。

说话人 1 26:03

所以今天在课堂上，我在学上得到了第一个等式的时候，虽然他不知道什么是方程，但是我会问到，诶，这个时候你知道橙子的质量了吗？有了这个方程，我确实就知道了。进而往下，我还想知道草莓的质量，我们撑了好多次，为什么前几次都不知状态的质量，而这一次突然知道了，因为我们找到了等量关系，由此感悟等量关系的价值，那既然等量关系很重要，就值得我们继续去寻找。于是我就创立了不同的情境。

说话人 1 26:44

首先从直观可见的天平上，我们去找等量关系，再到半抽象的线段图中，它也存在着等量关系。最后再找最抽象的稳字题重不管，逐步的帮学生来建立方程概念，不断地去抽，经历这个抽象的过程，从而让学生感悟方程的本质。第三个是从表达到结构对比、渗透模型思想。当成概念的出现，对学生来说是一次很大的跨越，它是从算术思维到代数思维的一次跨越，也是从直观的概念到抽象的概念的一次跨越。所以学生直接需，学生非常需要一个逐步形成概念的过程。那么今天在一开始出现章程的时候，而出现等量关系的时候，我没有直接让学生用式子表示，而是选择了学生非常熟悉的看图说话的形式，你们来说图上有什么？于是我以我的视角作为数学老师，我会怎么描述，让学生充分感知到数学的表达跟语文表达之间的差距，然后慢慢的学生自习，他就知道怎么样用式子来表示等量关系和不等关系。

说话人 1 28:15

另外还有一个就是在龟兔赛跑这道题中，我们特别把它抽象成了一个 x 加 y 等于 z 的模型，然后通过对他做的其他的题目的对比，让学生来了解不同的等量关系，它的实质都是描述的，这里的不同的等量关系都是描述的单个部分之和，两个部分之和等于第三个部分，所以都可以用 x 加 y 等于 z 来描述以此感悟方程的模型思想。那么到这里，我想我的阐述差不多就结束了。我们今天研究的起点是学生，终点也应该是学生。只只有在每一次的课堂实践后不断的思考，不断的改进，我们的课堂才会更科学，更高效。我将不断在思考中前行，在前行中思考。谢谢各位评委老师。