好，前面我们看到用标准正交机我们可以很方便地表示出向量空间中的任何一个向量，那么一个自然的问题就是给我一个向量空间如何来找到它的标准证照机？并且这个标准证照机是不是就是唯一的？那么下面我们来介绍一下史宾特证照化方法，这种方法可以使得我们可以从任意组线性无关的向量组，我们可以得到与之等价的一个两两正交的向量组。来看这一节的第3个问题，史密特正交化方法，up，那么我们说任意给定，一个向量组，阿尔法1，阿尔法2，阿尔法m，线性无关。

那我们现在要找一组与之等价的两两正交的一个向量组，怎么来找呢？大家下面先看一个简单的一个几何事实，那大家想想在三维的几何空间中，我们说如果有几个向量，我们给出 3 个向量，线性无关。那么好了，我不妨射这是一个向量阿尔法1，阿尔法2，既然是无关的，那么肯定是不贡献的。

所以好，我们设这里给定 Alpha 1 和 Alpha 2，那么我们怎么找出一个与他们从中怎么来找出一个与他们等价的一个向量组，贝塔 1 和贝塔2，那我们来看，我如果令贝塔 1 就取阿尔法1，那么我从阿尔法 2 我向阿尔法 1 做投影。那大家看这个投影向量这一段向量与贝塔一是同上的，我们就记它为 K1 贝塔一好了。那么这个向量这一段向量是什么呢？很容易我们可以表示出来，那么它就等于，我把它记为 Beta 2。我们来看 Beta 2 就是什么呀？阿尔法 2 这个向量，根据向量的加法，那么减去 K1 贝塔e。好了，那我现在怎么做的贝塔 2 呢？是贝塔 2 和贝塔 1 垂直，那我们来看看这个 k 如何来确定贝塔 2 与贝塔1。郑钊，换句话说，内积为0，那么我们给它代入，我们就可以得到什么呀？我们就可以得到阿尔法二，贝塔一的那积减去 K1 倍的贝塔一，贝塔一的那积要等于0，所以 K1 是什么呀？ K1 我们就得到它就是贝塔 1 和贝塔 1 的内积分支阿尔法 2 和贝塔 1 的内积。

好，如果我取 K1 是这样子来取的话，那么带入贝塔 2 的表达式一定可以得到贝塔 2 贝塔 1 内这个证招，这是两个向量。那好了，现在我有两个向量，得到了 2 个正招的向量。那么如何再找第三个与之等正招的？假设说我现在已经找到了贝塔一，贝塔二是正招的，然后我们已知有贝塔3，已知有阿尔法3。

好了，我如何再从阿尔法 3 和贝塔 1 贝塔 2 出发来找到与贝塔一二垂直的一个贝塔3？跟上面类似，我们过贝塔 3 过阿尔法 3 的这个顶点来做，上贝塔1，贝塔 2 所构成的这个平面来做投影。那么我们看，好了，那这一段它一定是将这个向量我们给它分解到贝塔 1 与贝塔 2 的这个方向上，那么这一段与贝塔 1 贡献，我们把它记为 K1 贝塔一， K1 贝塔1，好了，这一部分我们给它记为 K2 贝塔2，那么我们的贝塔 3 怎么取的？跟上面类似，我们就取贝塔3，就是这里的这个向量，好了，我们用黄颜色来表示出来贝塔3，那么根据向量的加法，它就等于阿尔法 3 减去这一部分向量，也就是减去 K1 贝塔 1 与 K2 贝塔 2 的和，也就减去 K1 贝塔1，再减去 k 给他。

那么如何来确定这里的系数？我们说我要使得贝塔三与贝塔一，贝塔二正交，那么根据贝塔一与贝塔三正交，我们来看贝塔 3 与贝塔 1 正交，那么与贝塔 1 给他做一下内机，再根据内机的线性，因为贝塔 1 和贝塔 2 是正交的，所以这部分为0。那么在和贝塔 1 做内机的话，就会得到什么呀？就会得到 K1 等于贝塔一与贝塔一的内积分支阿尔法 3 与贝塔一的内积。好，同理，我有贝塔3，需要和贝塔 2 正交，那么把贝塔 3 的表达式带入与贝塔 2 做内机，那么贝塔 1 贝塔 2 是垂直的正交的，所以得到 K2 NP 就等于 beta 2 的和它自身的内积分之阿尔法 3 和贝塔 2 的内积。好了，那我们看到在三维的这个几何空间中，我如果有三个向量，阿尔法 123 线性无关。我们用这样子的一个几何事实，我们可以得到了贝塔一贝塔二贝塔三实现是相互证招的，从而也是也就是线性无关的。那么受这个几何事实的启发，我们如下的来取向量，对于给定这个 n 维向量空间中的 m 个向量，阿尔法 1 到阿尔法m，我们取贝塔1，我就取它是阿尔法1，然后贝塔 2 我们就取为阿尔法 2 减去贝塔 1 和贝塔 1 的内机分支。阿尔法 2 和贝塔 1 的内机贝德贝塔1，那么背带 3 有了背带1，背带2，我们取背带 3 就是阿尔法 3 减去，贝塔 1 的内积，阿尔法 3 和贝塔 1 的内积，贝的贝塔 1 再减去 Beta 2 Beta 2 的内积分制 Alpha 3、 Beta 2，我们可以证明贝塔 1 贝塔 2 贝塔 3 两证招依次类推。

我们取贝塔 m 就等于阿尔法 m 减去 1 个多少倍的倍大。 1 减去多少倍的倍大 2 减去多少倍的 m 减 1 来看，根据上面的这个形式，我们可以可以看出这些系数之间有一定的关系了，那么贝塔 1 前面的系数就是贝塔 1 和它自身的内积分支阿尔法 m 和贝塔 1 的内积，同理，这里就是贝塔 m 减 1 和它自身的内机分支阿尔法 m 和贝塔 m 减 1 的内积。

可见，我们利用构造出的贝塔 1 到贝塔m，如此也可以得到一个贝塔 m 减1，我们就利用这样一个关系式又可以得到贝塔m，那么不难证明，不难证明。根据构造的，根据这些系数的选择的方法，我们可以证出贝塔 2 与贝塔 1 正交，贝塔 3 与贝塔一二正交。

依次类推，我们会得到， Beta 1、 Beta 2、 beta m 为一组两整交的，一个向量组，并且 beta 1 到 beta m 与所给的无关的向量组，阿尔法 1 到 Alpha m 等价，也就是说我们得到了与 Alpha 1 到 Alpha m 等价的一个两两正，那么两两正交我们刚刚已经说了，我可以从这个构造的方法我们可以逐步的得到。下面我们来证明一下，这个向量组于阿尔法 1 到阿尔法 m 是等价的，我们来简单的来说明一下。

好了，那大家看从贝塔 1 到贝塔 m 构造的方法很容易，你看贝塔 1 是阿尔法1，然后贝塔 2 由阿尔法 2 和贝塔 1 表出，贝塔 1 又是阿尔法 1 带进来，那是不是得到贝塔 2 是由阿尔法 1 和阿尔法 2 表出，那么 Beta 3 是把 Beta 1 带进来是阿尔法1，贝塔 2 是由阿尔法1、阿尔法 2 表出。

所以得到贝塔 3 是由阿尔法1、阿法2、阿法 3 进行表出，以此类推，我们可以得到 Beta 1、 Beta 2 到 beta m 可由是由阿尔法1、阿尔法 2 到阿尔法 m 线性表出的一个向量组由另外一个向量组线性表出。换句话说，就存在这么一个矩阵， a 使得这样一个关系式成立了，使得这样一个关系成立。

那么下面我们就来看我要说明这两个向量组等价，我还需要说明什么？还需要说明阿尔法 1 到阿尔法 m 可由贝塔 e 到贝塔 m 进行表出，那么怎么说明这件事情？大家来考虑这里的贝塔 e 到贝塔 m 都是 n 位向量，所以这个矩阵就是一个 n 乘 m 的一个矩阵了。

好了，同理， Alpha 1 到 Alpha m 这个矩阵也是一个 n 乘 m 矩阵，因此这里的表出的这个系数矩阵，它就是一个 m 接的一个方阵了。 m 接方阵，那么再来看考虑一下 a 的质。首先，任何一个矩阵，它的质不会超过它的行数，也不会超过它的列数，对吧？其次，又因为这样一个关系式，我们可以理解为这个矩阵是这两个矩阵的乘积。根据矩阵乘积的质的不等式，我们可以得到积的质是小于等于任何一个因子的质，因此 Ra 的质它就大于等于 beta 1 贝塔 r 贝塔 m 这个矩阵的质。

好了，那我们说 Beta 1 到 beta m 两两正交，因此必然是线性无关的，所以它的质就是它所含向量的个数。看看，我们证明了 a 是一个方阵，并且它的质就等于它的接数，这说明什么？所以 a 就一定是可逆的了？ a 可逆，我给上面的关系是两边同时又成 a 的逆，我们就得到阿尔法 1 阿尔法 2 阿尔法 m 就等于 Beta 1、 Beta 2 beta m，乘以 a 的逆。

那这个式子我们用向量线性表出的这个向量组线性表出的概念来解释，那就说明阿尔法 1 阿尔法 m 这个向量组可由贝塔 1 到贝塔 m 这个向量组表出，并且表示的时候，这个系数构成的矩阵恰好是 a e。那这里我们就证了阿尔法 1 到阿尔法 m 这个向量组和贝塔 1 到贝塔 m 这个向量组可以相互线性表出，于是什么呀？于是贝塔 1 贝塔 m 这个向量组就与阿尔法 1 到阿尔法 m 这个向量组单价。可见我们这里给出的这个史密特方法，正召化方法，我可以从一组线性无关的向量组得到与之等价的一个两两正交的向量组。那大家想想，如果这里的阿尔法 e 到 Alpha m 构成某个空间 v 的一组积的话，那我是不是又得到了一组正交集啊，然后我再对这个正交机中的每一个向量给它单位化，不就得到了一组标准正交机嘛。所以我们说这里我们也给出来了从一个向量的任意一组机，得到它的一组标准证遭机的一种方法N。

下面我们看一个例子，设向量阿尔法 1 就等于110，阿尔法 2 = 101 Alpha 3，与1011，用史密特正交化方法，用史密特正交化方法求出与他们等价的一组标准正交向两组。

好了，下面我们来看。

首先不难看出阿尔法1，阿尔法2、阿尔法 3 是线性无关的，你写出它的矩阵，那么这个矩阵的行列式是非 0 的，所以首先容易看出阿尔法1，我们写上，阿尔法1，阿尔法2、阿尔法 3 线性无关。

然后我们用史密特征交化方法，我令贝塔一就等于阿尔法1，那么它就等于110， Beta 2 就等于 Alpha 2，减去 Beta 1 与 Beta 1 的内积分之 Alpha 2 与 Beta 1 的内积， Beta 1 代入，这我们就可以得到 Alpha 2101，再减去 Beta 1 与它自身的内机，那么是多少？是二分之 Alpha 2 和贝塔 1 的内积，那么这两个对应分量相乘相加 1/ 2 好了，然后贝塔1110，我们来写一下，那么第一个分量是 1/ 2，所以这里剩下1。第二个分量是负的 1/ 2，所以是-1，那么第三个分量1，所以是2。比塔三就等于阿尔法 3 减去 Beta 1、 Alpha 3 和 Beta 1 的内机 Beta 1，再减去 Beta 2 和 Beta 2 的内机 Alpha 3 和 Beta 2 的内机 data 2，那么这个代入计算我们可以得到，它就等于， 2/ 3 负一好了。

那么由史密特征交化方法我们知道贝塔一、贝塔二，贝塔三就两镇交，且与阿尔法 123 等价，我们现在要得到的是与阿尔法 123 等价的标准正交向量组。所以我们还需要对贝塔一、贝塔二、贝塔三怎么样单位化合理？将 Beta 1、 Beta 2、 Beta 3 给它，分别单位化，你就得到。那伽马 1 就是贝塔 1 的单位化。用贝塔 1 除以它的长度，那么就等于什么呢？它就等于根号 1/ 2 的110，咱们 2 Beta 2 的长度分支 Beta 2，那么这就等于根号 1/ 6 的 1 负一二小马3，雷打3，那么它就等于根号 1/ 3 的 E E E，所以向量组伽马1、伽马2、伽马 3GV 与阿尔法1、阿尔法2、阿尔法 3 等价的标准正交销量组。

好了，那么下面我们再回忆一下，刚刚我们还有一个问题没有回答，那么我们回答了什么呢？我们回答了如何从一组机出发得到一组标准证照机，那么我们还有一个问题是什么呢？我们说给定一个向量空间，它的标准证照机是不是唯一？那现在大家来看这个例子，我们考虑三维的时向量空间，我们已经知道自然机 1 分一分二是它的一组标准正交机，那现在再来看这里的伽马1、伽马2、伽马3，既然他们是标准正交的，那就说明它一定是线性无关的，又因为三维向量空间中任意三个线性无关的一定构成一组机，所以说伽马1、伽马2、伽马 3 也构成 R3 的一组标准证照机。

那也就是说什么呢？也就是我们看到对 R3 来说，我们这里有两组标准增交机，换句话说，给定一个 n 维的向量空间，它的标准增交机也是不唯一的。下面我们来看，如果一个向量组，一个含 n 个向量的一个 n 为向量组，它的向量之间两两正交，并且是标准的，并且是单位向量的话，以这样子的一个向量组作为列构成的矩阵具有非常重要的一个作用。这也就是第4个问题，正交矩阵，祝我 n 阶的使矩阵a，满足， a 的转置，乘以 a 为单位矩阵，则称， AV n 阶的正交矩阵。

那么由这个定义，我们可以看出，正交矩阵的几个简单的性质。第一，如果 a 是正交的，那么 a 必然是什么呀？ a t a 等于a，那说明什么？ a 必然可逆，并且 a 的逆就是 a 的转至第二个，如果 a 正交，那么我们给这个关系式的两边同时取行列式，再利用转制的行列式等于它自己的行列式，所以得到 a 的行列式的平方等于1，也就是说 a 的行列式必然是正 1 或者负1。

第三，若 a 正交，则 a 的转制也是正交的。怎么来说，怎么来理解，大家看 a t a 等于e，那说明 a 再乘以 a t 是不是也就等于e？因为 a t 是 a 的逆聚阵，所以 a 乘以 a t NP，也就等于单位矩阵，那么 a 又等于 a 的转制好了，那这就说明对于 a 的转制来说，它的转制乘以它自己等于e，那就说明 a 的转制是正交的。同理 a 逆也正招，并且 a 的伴随矩阵也都是证遭矩阵。好了，第四个性质，我们来说，如果一个矩阵 a 正交，那么当且仅当它的列向量组以及行向量组，一定是标准整交，那么对于这个 n 阶的矩阵来说，那也就是说它的列向量组或者航向量组一定构成 RN 的一组标准证遭机。我们简单的来证明一下这个结果。

好了，我们现在对 a 呢进行按列分块，阿尔法1，阿尔法2，阿尔法n。好了，那现在来看一下， a 转至乘以a，那它就应该等于阿尔法 1 的转至阿尔法 2 的转至阿尔法 n 的转制，再乘以 Alpha 1， Alpha 2，阿尔法n。那么根据分块矩阵的乘法，我们知道这就等于阿尔法 1 的转至阿尔法1，阿尔法 1 的转至阿尔法2，阿尔法 1 的转至阿尔法n，然后阿尔法 2 的转至阿尔法1，阿尔法 2 的转至阿尔法2，阿尔法 2 的转至阿尔法n。类似的，它就等于阿尔法 n 的转置阿尔法1， n 的转置阿尔法2，阿尔法 n 的转置阿尔法n。

好了，我们表示出了它的 a t 乘以 a 的形式，于是我们说 a 正交，也就是 a t， a 等于e，等于单位矩阵。那就完全等价于什么呀？等价于 Alpha i 的转至 Alpha j，它就等于什么呢？好，这个矩阵要等于单位证，说明主对角线全都是一，也就是在 i 等于 g 时，全都取1，其余的元素全为0，那么其余的元素全都是 i 和 j 不等的情况，就等于0。

好了。 r i， Alpha i 的t， Alpha g 是什么呀？根据定义，它恰好就是 Alpha i 和 Alpha g 的。累积。那么反之，如果说一个向量组阿尔法 1 到阿尔法 n 满足这样的关系的话，那么把它写成这个矩阵的形式，则它矩阵就是e，而这个 e 恰好就是 a 和 a at 和 a 的成绩。

于是我们得到 a 正交，当且仅当它的列向量组是标准正交的标准证照的，那么同理，因为我们说 a 证招的话， a t 必然证招，于是 a t 的列向量组就是标准证招的，而 a t 的列向量组就是 a 的航向量组。因此，也就是说，一个矩阵如果正昭，那么它的行向量组和列向量组分别是标准正昭的向量组。好了，这是正昭矩阵的定义，正昭矩阵在后面实对称矩阵的对照相似以及许多实际的工程应用问题中，都有着非常重要的应用。好了，休息了。