大家好，上一节我们讲了向量组的线性相关性，我们介绍了向量组线性相关的概念判定以及一些性质。在此基础上，这一节我们来学习向量组的质。

首先，我们引入等价向量组的概念，设有两个向量组 T1 和T2，T1，那么我们记它的向量为， Alpha 1， Alpha 2， alpha m， p 2、 Beta 1、 Beta 2、 beta n。好，如果，向量组 T1 中的每一个向量，我们简单的来写，每一个向量 Alpha i 均可由向量组 T2 线性表出。

对i，从 e 到m，每一个向量均可由 T2 中的这些向量贝塔 1 到贝塔 n 线性表出，则称，向量组 T1 可由向量组 T2 线性表出，也叫线性表示。好了，那么如果 T1 与 T2 可相互表出，若向量组 T1 与向量组 T2 可相互线性表出，则称 T1 与 T2 等价。

好，那么我们简单的看一个例子，大家考虑我们 T1 是这样一个向量组，一部分110，也就是我们说过的二维的基本单位向量，T2，你记 Alpha 一阿尔法2。

那很显然，前面我们已经讲过，任意的 n 位向量可由 n 为基本单位向量表出，所以 T2 可由 T1 表出。那么反之一碰1，我们就可以表示成 0 乘阿尔法1，再加上 1/ 2 阿尔法2，也就是说一分一可由 T2 线性表出一份2，不难看出，它就应该等于 1/ 2 的二倍的阿尔法 1 减去阿尔法2，那么我们也可以写成阿尔法 1 减去 1/ 2 阿尔法2。也就是说，因从二页可由 T2 表出，所以 T1 与 T2 等价。

这是一个很简单的一个例子，那么两个向量组可互相线性表出，或者一个向量组可由另外一个向量组线性表出。这样的概念我们可以用矩阵来简单的表示。所以我们来看，向量组可由另外一个向量组线性表出时，我们用矩阵如何表示它？好了，我设给定向量组P1，阿尔法e，阿尔法m，T2， Beta 1， beta n。已知 T1 可由向量组 T2 线性表出。

具体的来说，我们有以下的表达式，那么阿尔法 1 就等于 A11 贝塔1，加上 A21 贝塔2， A N E，贝塔n。同理，阿尔法 2 可由贝塔 e 到贝塔 n 表出，我们记为 a 一二贝塔一，二二贝塔二。 N2 回答n。内推 alpha m 等于 a e m 贝塔 1 加 r m，贝塔 2 加到 a n m Beta 好。

假设 T1 可由 T2 线性表出，那么我们利用分块矩阵的乘法很容易看出，我如果把阿尔法1、阿尔法 2 到阿尔法 m 作为列构成一个矩阵，那么上面的关系是，就等价于阿尔法 1 阿尔法m，它就等于贝塔 1 到贝塔 n 乘以矩阵 a 一一，我们这里加上 beta 2。等于 Beta 1 Beta 2 好。那么 A 1121 N1，那么阿尔法 2 就等于 A1R 贝塔122，贝塔 2A n 2 贝塔 n 好，依次类推，e，m，我们令阿尔法 1 到阿尔法 m 为列的矩阵，我记为矩阵a，贝塔 1 到贝塔 n 构成的围列构成的矩阵我们记为b。

那么这里的系数组成的矩阵，我们记为 c 的话，那容易看出向量组阿尔法 1 到阿尔法m，可由贝塔 1 到贝塔 n 线性表出，那用矩阵的语言来描述，就是说存在一个矩阵c，使得 a 等于 b c，所以这也是一个矩阵等于两个矩阵乘积的一种。从向量组的角度来理解的一种表示是好，所以总结一下，就是说，我们可以简单的把向量组 T1 由 T2 表出，用矩阵如此简单的来表示出来，那么 a 等于BC，就表示两方面的意思，第一方面 a 的列向量组。

可由 b 的列向量组。线性表出，我们简单的写为表出。好，那很多同学说了，那航向亮度是什么情况？那我们做转制，我们会发现我如果两边同时取转制的话， a 的转制就等于 c 的转制乘以 b 的转制。那根据刚刚说的，那么就说明 a t 的列向量组可由 c t 的列向量组现行表出。换句话说就是 a 的行向量组，行向量组可由 c 的航向量组线性表出。

好，那么我们以后可能会经常用到这样一个小的结论，这是一个向量组可由另外一个向量组线性表出时，我们可以用矩阵的乘法简单的来表示这种关系式。好了，我们说向量组的等价关系是一种重要的向量组之间的一种关系，它满足以下的几个性质，向量组的等价关系，满足，首先，反身性，换句话说，一个向量组一定与他自身等价，这个当然很容易理解了。第二，对称性什么意思？就是如果 T1 与 T2 等价，那当然 T2 与 T1 等价，因为指的是相互线性表出。第三，我们说向量组之间的等价满足传递性，我们来简单的证明一下传递性，我现在设，首先什么是传递性？就是说我设有三个向量组，T1，我们记为阿尔法 1 到阿尔法m，这个向量组 T2 为Beta， 1 到 beta n，这个向量组 T3 为伽马 1 到伽马s。这个向量组假设说 T1 与 T2 等价，并且 T2 与 T3 等价，那么所谓传递性就指的是，如果 T1 与 T2 等价， T2 与 T3 等价，则 T1 与 T3 等价。所以我们现在需要证明 T1 与 T3 等价。

那好了，那我记以阿尔法 1 到阿尔法 m 为列构成的矩阵，我们记为a。同理，以贝塔 1 到贝塔 n 为列构成的矩阵，我记为b。伽马 1 到伽马 s 为列构成的矩阵，我们记为c。那么根据前面两个向量组等价的矩阵表示，那么 T1 与 T2 等价，也就是说存在一个矩阵，我们记为K1，使得你看 T1 的列向量可由 T2 的中的列向量线性表出，那也就是说使得 a 等于 b K1，同理， T2 与 T3 等价。也就是说存在某一个矩阵K2，使得 b 等于 c K2，于是我们就得到，那么 a 就等于 c K2， K1 也就等于 c K2 乘 K1 好了，我们把 K2 与 K1 的乘积作为一个新的矩阵，那么这就表示 a 就等于 c 乘以这个矩阵。

跟着刚刚说的，那么就表示 a 的列向量组可由 c 的列向量组线性表出。也就是 T1 可由 T3 线性表出，可由 T3 信息表出。同理，同理，由 T2 可由 T1 表出。T3T， T3 可由 T2 表出。我们也可以证明T3，可由向量组 T1 线性表出。于是根据等价的概念，我们就知道向量组 T1 与向量组 T2 等价，因此向量组的等价这种关系也就满足传递性。

那么下面我们来看看一个向量组可由另外一个向量组线性表出，这样的概念和我们前面学过的线性相关性，线性无关性之间有一个重要的联系，也就是下面的一个结果，设有两个向量组，T1，阿尔法 1 的阿尔法 m 和向量组T2， Beta 1、 Beta 2。贝塔，已知，向量组 T1 可由向量组 T2 线性表出， m 大于n，SO，向量组 t 一定线性相关。

也就是说这个结论告诉我们什么呢？一个含向量个数较多的向量组，可由含向量个数较少的向量组线性表出的话，则含向量个数比较多的这个向量组必然进行相关，那么下面我们来证明一下这个结论，大家回忆一下，我要证明一个向量组的这个线性相关性，我们是把它转化，为什么呢？转化为证明这个向量组的质，证明这个向量组的质和它向量组中所含向量的个数之间的一种关系。所以，我们来看第一种方法。

我设由阿尔法 1 到阿尔法 m 为列构成的矩阵为a， b 前 m 和列为阿尔法 1 到阿尔法m，后面的 n 个列为贝塔 1 到贝塔n。那现在我们要证明 T1 是线性相关的，也就是我要证明 T1 的质矩阵 a 的质， a 的质小于它所含向量的个数m，那么我们来看怎么来证明这个结果？由条件， T1 可由 T2 表出。换句话说，每一个阿尔法 i 可由向量组贝塔 1 到贝塔 n 线性表出。不妨射阿尔法 1 就等于 K1 Beta 1 加 K2 Beta 2 加到 k n beta n。

那么大家来想一想，我对矩阵 b 做如下的，列出等变换，做列倍加的出等变换怎么变换？我将贝塔 1 的负的 K1 倍加到第一列，贝塔 2 的负的 K2 倍加到第一列，依次类推，直到贝塔 n 的负的开 n 倍加到第一列的话，那么第一列很显然就变成零向量。同理， Alpha 2 到 Alpha m 都可由贝塔 1 到贝塔 n 表出。我做类似的初等列变换，我们就可以把 b 的前 m 个列都换成零向量。

好了。于是，根据矩阵质的关系，我们知道 a 是 b 的子矩阵，因此 a 矩阵的质不超过 b 矩阵的制，而 b 矩阵的制，我们知道初等变化不会改变矩阵的制，因此制的 b 的质，它就等于这样一个矩阵的质，而这个矩阵的质很显然是不超过n。又根据条件， n 小于m，于是我们证明了以阿尔法 1 到阿尔法 m 为列构成的矩阵的质小于其所含列向量的个数。所以，根据上一节的结论，我们知道 a 的列向量组，阿尔法 1 到阿尔法 m 必然是线性相关。

事实上，根据我们刚刚讲的一个向量组由另外一个向量组线性表出，根据这个概念的矩阵表示，我们可以更加简单的来证明这一结果。大家很快来看一下，我们利用刚才我们讲过的一个向量组，可由另外一个向量组线性表出的矩阵表示，我们可以更加简单的来证明这一结果。我令a，还如第一种方法所示，就是阿尔法e，阿尔法 m 为列构成的矩阵，那么现在我令 b 就是贝塔 1 到贝塔围猎构成的矩阵，由条件， T1 可由 T2 线性表出。那换句话说，存在某一个矩阵，我们记为p，使得什么呢？ a 就等于 b p。那么根据矩阵乘法的质的大小关系，我们知道乘积的制， a 的制，不超过每一个因子的质，也就是说 a 的质不超过 b 的质。那条件告诉我们， b 中所含向量的个数为n，那么 b 矩阵的质不会超过它的列数，所以小于等于n，而 n 是小于 m 的。于是我们也同样证明了 a 的质小于它所含列向量的个数，于是 a 的列向量组线性相关。

那么这个结论就把我们这里讲的向量组可由另外一个向量组线性表出的概念，和我们前面讲过的向量组的线性相关性、线性无关性给联系起来。或我们可以得到如下的两个常用的推论，有两个向量组，T1，T2。如果向量组T1，可由向量组T2，我们把它的元素写出来，T1，可由向量组T2，线性表出，并且向量组 T1 线性无关，那么我们会得到什么呢？我们一定会得到 m 小于等于n，那当然，如果 m 大于 n 的话，刚刚已经说了， m 如果大于n， T1 可由 T2 表出，那么一定会得到 T1 是相关的。因此如果 T1 线性无关的话， m 必然不超过 n N。

再来看，由推论一，那如果 T1 和 T2 都是线性无关并且等价的话，我们会得到什么呢？我们会得到，等价的，线性无关的向量组，所含向量个数，必然相等，那么这个证明也很容易了。好了，那我现在设简单的说明一下，T1，t，r，并且T1、 T2 都是线性无关的，那由这个推论，一线性无关的一个向量组 T1 可由 T2 表出，那么说明 m 不超过n。反之，线性无关的向量组 T2 可由 T1 表出，那么 n 也不超过m，从而 m 和 n 必然相等。好了，那么这个简单的这这个结果我们在后面会经常的用到，那这也是定义一个向量组质的概念，这个概念的一个基础。那么介绍了向量组的等价，我们下面来看一个向量组的几大五官组，让大家来看以下的一个向量组。

3、第四、第五，那在这个向量组中，我们找三个向量，E1、E2、E3，那他们作为一个向量组，是取自 t 中的一些向量构成的，把这样子的一个向量组就称为向量组 t 的一个部分组。因为它的向量是 t 中的某些某一部分向量，就称为是一个部分组。那这样一个部分组有什么性质？根据我们上一节的结论，很容易知道 111213 是线性无关的，并且大家看出来 t 中剩余的两个向量， E4 和E5，很显然 E4 就是 E1 加E2，E5，我们可以表示为 E2 加E3。又因为我们知道E1、E2、 E3 分别可由他们由这个E1、E2、 E3 的向量组进行表出，所以我们发现什么呢？我们发现这个部分组可以表示出 t 中的每一个向量，我们就把这样子的一些无关的部分组，就叫做向量组的几大无关组。

设一个向量组 t 的，部分组，阿尔法1，阿尔法2，阿尔法r，满足，p，e， Alpha r 线性无关。第二， t 中的任意向量，可由该部分组线性表出。

好，我们就把满足这两个性质的部分组就称为向量组 t 的极大五关组。

那么大家看得出，根据这个定义，那么E1，E2， E3 就应该是这里向量组 t 的一个极大无关组。根据定义，我们可以得到一个向量组极大无关组的一些简单的性质。那大家想一想，我们给出了一个新的概念，我们需要研究什么呢？自然就有一些问题了，比如说我给任何的一个向量组，这样的几大无关组是不是都存在？如果存在，它是不是唯一？如果不唯一，它们之间有什么样的关系？并且给一个向量组，我该如何来找出他的几大五关组？还有极大无关组会有什么样的性质？下面我们分别来看。

首先我们就来看看几大无关组的简单性质。后面我们会介绍几大五官组的方法，计算方法，怎么找出一个向量组的几大无关组，那么我们把这些简单性质作为助记。第一个，那同学们可能会想了，这样的这个部分组为什么叫做几大无关组呢？很显然无关容易理解了，要求它是线性无关的，为什么称为极大？我们来解释一下所谓极大是什么意思？就是指一个向量组的几大无关组，一定是在该向量组中你能够找得到的无关的部分组中所含向量个数最多的。换句话说，如果你找一个部分组，那么你给他再添一个向量就必然是线性相关的了。

比如说我这里为什么叫做阿尔法 1 到阿尔法 r 是 t 的几大无关组呢？为什么说是极大？那大家想想还能不能所含向量的个数还能不能再增加？我们看，假如说我在这个部分组中，我再从 t 中取一个向量，我们记为 Alpha r 加1，我们添进来看看会有什么什么样的事情发生。

那由条件2， t 中的每一个向量可由阿尔法 1 到阿尔法 r 表出，因此这个阿尔法 r 加1，向量必然可由阿尔法 1 到阿尔法 r 线性表出。那么自然根据线性表出的定义和线性相关的定义，我们就会发现，阿尔法1、阿尔法 r 直到阿尔法 2 + 1 构成的这个向量组就线性相关了，就不再无关。因此我们说为什么称几大呢？就是极大无关组一定是该向量组中线性无关的所含向量个数最多的线性无关的部分组，再加一个就相关了，就不再是无关的部分组了。

好，这是极大的概念，我们解释一下。第二个，我们再来看几大无关组的一些简单的性质。第二，由条件，阿尔法 1 到阿尔法 r 是 t 的几大无关组。那么我们要求 t 中的每一个向量可由阿尔法 1 到阿尔法 r 线性表出。反过来，阿尔法 e 到阿尔法 r 是 t 的部分组，因此它中每一个向量阿尔法 i 都是 t 中的向量。前面我们讲过，一个任意一个向量都可由它所在的这个向量组进行表出，因此每一个 Alpha i 均可由 t 进行表出。

那这说明什么？说明极大无关组阿尔法 1 阿尔法 r 这个极大无关组必然和向量组原来的向量组 t 是等价的。所以我们也可以简单的说，一个向量组的极大无关组就是与向量组原向量组、等价的无关部分组。向量组 t 的几大无关组就是 t 的，等价的线性无关的部分组。

好，这是第二个性质。我们讲了几大无关组，一定是我们再来解释我们刚刚提过的一个问题，就是说我们定义了一个几大无关组，那么任意给出一个向量以向量组以后是不是都存在这样的几大无关组？大家来考虑一下是不是都存在极大无关足，我们看一种极端的形式，我们看一个极端的形式，如果这个向量组中只含有一个向量，那么在这样的一个向量组中能不能找到一个无关的部分组呢？我们知道 0 向量就是线性相关的了，因此它不存在无关的部分组，所以我们说 0 向量构成的向量组没有极大无关组。

好，再来看，那如果这个向量组 t 本身就是线性无关的，我们来看如果 t 本身是线性无关的，那么它的几大五关组又有什么样的性质？

那当然了，我假设说这个t，因为它线性无关，它肯定全都是非 0 的向量了。好，假设这是一个线性无关的向量组，那么我们来看它的几大无关组，那无关极大无关组，首先必须是一些部分组，那我们看看，如果我取它的部分组，假如说我就取到阿尔法 1 到阿尔法 n 减1，那看这个部分组能不能是它的一个极大无关组。我们就要看阿尔法 n 能否由阿尔法 1 到阿尔法 n 减 1 这个部分组线性表出，那很显然是不能的，如果阿尔法 n 可由他们线性表出，那么这个阿尔法 1 到阿尔法 n 必然息息相关，所以就矛盾了。因此阿尔法 t 中存在向量，不能由这个向量组线性表出，因此他们就不是几大无关组。同理，你在 t 中任意取一个部分组，总有不能用这个部分组索取不分组线性表出的向量。所以我们说 t 的这个几大无关组只能是他自己，只能是把所有的向量都取上，那自然它是无关的，并且每一个向量都可以由它这个向量组协议找出。所以我们得到线性无关向量组的几大无关组只有一个，就是他自己。

那么这个是两种极端的情况，那么我们就要看一般情况下几大无关组，是不是存在，是不是唯一，还是看我们刚刚的这个例子。那么在这个例子中，我们已经找到了一个极大无关组，E1、E2、E3，那我如果再取一个一个部分组，我们取E1， E2 和E5，那不难看出E1、E2、 E5 为列构成的这个矩阵它的制式3，所以它们是线性无关的。再来看，那么E1，E2， E5 当然分别都可以用它先行表出了，那么剩下我们就看 E3 和E4，不难看出 E3 应该是什么呢？我可以用 E5 减去 E2 进行表出，那么E4，自然了，我用 E1 加E2。所以那么E1，E2， E5 构成的部分组是线性五官的，并且可以表示中，表示出 t 中的每一个向量，所以他们也是构成了 t 的一个几大五关组。

因此一般来说几大五关组是不唯一的，一般的来说，一般的它是不唯一，也就是说线性其他无关组不一定唯一，在什么时候唯一，在这个商量组本身无关的时候唯一。所以说，那么不唯一的情况下，我们就要讨论了，那他两个部分组都是g、 t 的极大无关组，那么他们之间有没有什么更紧密的一些必然的联系？那要讨论两个向量组之间的关系，当然就是讨论哪个向量组能不能有一个向量组，能不能有另外一个向量组表出，或者甚至进一步说这两个向量组能不能等价，对不对？那我们来考虑这两个向量组。

根据刚刚的解释，我们说一个向量组的几大五关组一定是与向量组本身是等价的，所以E1、E2、 E3 这个五关组一定与 t 等价，同理，E1、E2、 E5 也是与 t 等价的，那么根据等价的传递性，我们就知道这两个几大无关组是等价的。所以我们说一般的几大无关组不唯一，但是相互等价，好，相互等价。

那么根据我们刚刚的前面这个定理 1 的推论二，我们说等价的线性无关向量组所含向量的个数相同，因此一个向量组的几大无关组所含向量个数相同，且锁汗。也就是说几大无关组是什么呢？不一定唯一，但是它里面所含的向量的个数却是确定的，这是由原来的向量组由所给出的向量组，所确定下来的。

好，确定下来的一个数。好了，这是第五个。我们简单说一下，几大无关组一般的来说是不唯一的，那么它们之间必然是等价的，从而所含向量的个数是相同的。好了，下面我们再来看，第六个，这个就简单的来说一下好了。刚刚我们说了一个几大五关组，是 t 中线性无关的部分组所含向量个数最多的，那说明什么呢？那说明如果极大无关组，看设阿尔法 1 到阿尔法 r 为向量组， t 的一个极大无关组，SO， t 中任意， r 加一个向量所构成的部分组，所构成的这个向量组必然怎么样？必然是相关的了，为什么呢？因为极大无关组中只含有 r 个，而极大无关组是 t 中线性无关的向量组中所含向量个数最多的。那么这个向量组你现在有 r 加 1 个，当然它一定是相关的了，相关的。好了，这个根据几大无关组的定义，我们给出了几大无关组的几个简单性质。