那么下面我们再来看两个向量组，大家来看第一个向量组，我们就去 1* 1 = 100，一瓶二010， 1* 3，001，这就是我们前面刚刚提到的三维的基本单位向量。那么在这个向量组中，那大家考虑一下 1* 3 能不能由 1* 1 和 1* 2 线行表出，那很显然它的任意一个 k 倍就是这里取K1，它的 K2 倍就这里取K2，加起来都不可能使第三个分量是1，所以一不同，三不可能有一不同，一从二线性表出。同理 1* 1 也不可能由二三进行表出。

那大家再来看，这样一个向量组，阿尔法一，我们取 100 阿尔法 2020 阿尔法3240，不难看出阿尔法 3 就是二倍的阿尔法1，再加上二倍的阿尔法2，也就是说在这个向量组中，阿尔法 3 可以由前面的两个向量线性表出。那么在一般的 n 维向量中给定一个向量组，在这个向量组中能不能找到一个向量，可由其余向量线性表出，这个概念就是我们下面要讲的线性相关性和线性无关性。

我们来看线性相关性，我要讨论给定一组向量，或者说给定一个向量组，我要讨论这个向量组中这些向量之间的关系。具体来说，我就要讨论在这一组向量中能否找到一个向量，可以由其余的向量先行表出，那么这样的关系就是线性相关性所讨论的一个问题。好，那么我们说一般的来说有如下的定义，给定向量组，阿尔法1，阿尔法2，阿尔法n，给定这样一个向量组，阿尔法 1 到阿尔法n。设这个向量组中有一个向量，有一个上量，可由其余向量，线性表出。如果在这一组向量中有这样的关系，就是你找得到一个向量，能由其余的向量线性表述，我们就称向量组。阿尔法1，阿尔法 2 到阿尔法 n 是线性相关，否则，撑该向量组为线性五官。

那么这个定义中有这样的性质，就是其中存在一个向量，可以由其余的向量线性表出，那这个向量组我们就称它是线性相关的，否则称它为线性无关。事实上，在实际理论分析中，我们经常还用到如下的一个等价定义，一个向量组，阿尔法1，阿尔法2，阿尔法。如果存在一组。不全为 0 的数， K1 K2， k n，使得。

K1 阿尔法 1 加 K2 阿尔法 2 加到 k n 阿尔法 n 等于 0 向量，则称。该向量组。阿尔法1，阿尔法 2 阿尔法 n 线性相关，否则，称其为线性无关。

那么下面我们很快会将会证明这两个向量是等价的。好，我们给出他们的等战性。

我要说明 4. 2 的定义和 4. 2 一撇的定义等价，也就是说，给定任意一组向量以后，如果根据定义 4. 2 这个向量组是线性相关，那么我需要说明它根据 4. 2 一撇也线性相关，反之是一样的。所以我们现在来证明好了。设任意给定，一个向量组，阿尔法 1 阿法2，阿尔法n。

如果有，定义 4. 2 阿尔法 1 到阿尔法 n 线性相关，那也就是说，在这个向量组中，有某一个向量可由其余向量线性表出。那我不妨设，阿尔法 1 可由其余向量线性表出。我们假设阿尔法 1 可以表示为 L2 阿尔法 2 l n，阿尔法n。现在我们需要证明什么呢？需要证明根据定义 4. 2 一撇阿尔法 1 到阿尔法 n 也是线性相关的。换句话说，我要证明存在一组不全为 0 的数，使得阿尔法 1 到阿尔法 n 的线性组合等于0。那很简单，我们来一项，我把阿尔法 1 移到等号的右边，我们会得到- 1 乘以 Alpha 1，加上 L2 Alpha 2 l n，阿尔法 n 等于0，那么来看这个组合的系数负 1 L2L n。很显然，这一组数不全为0，因为它包含一个非 0 的-1。显然，因为这组系数不全为0，所以，由定义 4. 21 撇向量组，阿尔法 1 阿尔法 2 阿尔法 n 线性相关。

好了，反之，反之，对这一组向量，如果若游定义 4. 2 一撇阿尔法 1 到阿尔法 n 线性相关，我们需要证明由定义 4. 2 他们也线性相关。好了，我们来看，如果由 4. 2 一撇阿尔法 1 到阿尔法 n 线性相关，那也就是说，存在一组不全为 0 的数 K1 K2 k n。

使得该向量组的组合 K1 阿尔法 1 加 K2 阿尔法 2 加 k n，阿尔法 n 等于 0 好了，那既然这一组数不全为0，那至少存在一个非 0 的数。我们不妨设， k n 非0。

好，那么 k n 不等于0。我们把 k e 阿尔法 1 加到 k n 减1，阿尔法 n 减 1 挪到等式的右边，然后在两边同时除以 k n，我们就可以得到。阿尔法 n 就等于负的 k n 分之 k 1，阿尔法 1 加负的开 n 分之开 n 减1，阿尔法 n 减1。换句话说，我们找到了一组数这个数，这些数使得阿尔法 n 由其余的向量阿尔法 1 到阿尔法 n 减 1 的线性组合给他表出。所以由定义 4. 2 向量组，阿尔法 1 阿法 2 阿法 n 线性相关。

好，因为阿尔法 1 到阿尔法 n 为任意足向量，所以我们这就证明了 d e 4. 2 和 4. 2 一撇是完全等价的。好了，下面我们根据线性相关线性无关的定义，我们可以得到如下的几点需要注意的问题。第一个，那么大家看，如果我这个向量组中只有一个向量，也就是说单个向量，所构成的向量组，假如说阿尔法这一个向量构成的向量组线性相关的话，会得到阿尔法有什么样的性质好？阿尔法要线性相关，也就是要存在不全为 0 的数， k 使得 k 阿尔法等于0，那么不全为 0 的数，因为只有一个数，所以 k 非0。于是我们得到什么呢？阿尔法一定是等于 0 的好，换句话说，菲林的，非 0 的向量，那么单个非 0 的向量构成的向量组，必然是线性无关的，这是第一个问题。

第二个由定义我们也容易看出，如果在一个向量组中含有 0 向量，包含 0 向量，那么，含 0 向量的向量组，对于含磷向量的向量组，我们看看能得到什么结果。那么大家来看，假如说这里有一组向量，阿尔法 1 到阿尔法T0，阿尔法 t 加 1 阿尔法n，那么很显然，我在 0 向量前面，我取一个非 0 的系数1，其余的我全取系数0，就得到 0 向量。于是我们说含 0 向量的向量组必然是线性相关。

好了，这是第二个问题。第三个，大家再来考虑一下。前面我们也提到，在平面上，如果两个向量，阿尔法贝塔线性相关，那么我们可以看出这两个向量必然怎么样，某一个向量可由另外一个向量线性表出，换句话说，这两个向量是贡献的类似的。在几何空间二三中，向量组阿尔法贝塔伽马线性相关，那么根据定义，一定存在某一个向量，可由其余的另外两个向量线性表出。换句话说，存在某一个向量，它位于另外两个向量构成的平面上，也就是说这三个向量是共面的。可见在二维和三维空间中，线性相关的概念具有着非常明确的几何意义。

下面我们再来看。根据定义，我们来看 4. 2 一撇。根据定义，如果存在不全为 0 的数， k 1 到 k n，使得阿尔法 1 到阿尔法 n 的组合为0，那么称阿尔法 1 到阿尔法 n 是线性相关的，否则成为线性无关，否则表示什么意思？也就是说，给定这一组向量以后，找不到非 0 的一组数，使得组合为0。

那么换句话说，如果要使得阿尔法 1 到阿尔法 n 的线性组合为0，那么这一组系数必然全都等于，所以我们得到线性无关的这样子的一个结论，给定向量组阿尔法 1 到阿尔法n，那么阿尔法 1 到阿尔法 n 线性无关，是什么意思？指的就是说，如果他们的线性组合为 0 的话，那么只有或者说当斜，仅当组合的系数全为0，如果一个向量组它满足这样的性质，就是它的组合等于 0 时，只有所有的系数全为0，那么这组向量就称为是线性无关的线性无关。那么下面我们知道了线性相关和线性无关的概念，以及由概念我们得到了一些简单的性质。

那一个很自然的问题就是给你一组向量，那么如何来判断这一组向量线性相关？给定一个向量组，阿尔法 1 到阿尔法n，如何判断它是否线性相关？根据前面的与前面的这个线性表出类似，那么由定义我们可以得到如下的一个结果，可以定，向量组阿尔法1，阿尔法 2 阿尔法。

那么由d，e， g 组向量，线性相关，当且仅当存在不全为 0 的数 k 1 到 k n，使得阿尔法 1 到阿尔法 n 的线性组合等于0，这是我们刚刚讲过的定义。那么这个式子我们也可以这样子来看，也就是说 X1 阿尔法 1 加 X2 阿尔法 2 加到 x n，阿尔法 n 等于0，这样一个方程组有什么有非零解？所以我们得到判断一个向量组线性相关的第一个条件就是其次线性方程组， X1 阿尔法 1 加 X2 阿尔法 2 x n 阿尔法 n 等于0，有非 0 解。

好，对于其次线性方程组的解的讨论，有解的讨论。我们知道这样一个其次线性方程组有非 0 解，当且仅当它的系数矩阵阿尔法 1 阿法 2 阿尔法 n 为列向量构成的系数矩阵的质小于其未知量的个数， n 小于其未知量的个数。好了，那么由定义我们可以得到两个判断的一个条件，第一个条件给出了线性相关性这样一个新的概念和。其次线性方程组有没有非 0 解它的解的讨论之间的一个联系。那么第二个给出来了一个向量组是否线性相关和由这个向量组构成的矩阵的质之间的一种关系？好，那么下面我们来看一个具体的例子，设向量组，阿尔法1，阿尔法2、阿尔法 3 线性无关， Beta 1 等于 Alpha 1 加 Alpha 2， Beta 2 等于 Alpha 2 加 Alpha 3， Beta 3 等于 Alpha 1 加 Alpha 3。我们来证明向量组贝塔一，贝塔二、贝塔三野线性无关。

好了，我们刚刚看到给定一个向量组后，要判断它是线性相关还是线性无关，我们可以转化为一个。其次，线性方程组是否有非 0 解，或者也可以转化为以他们为列构成的矩阵的质与所含的列数之间的关系来判断。我们要证明 beta 1 到 beta 3 线性无关，那我们由定义设 K1 贝塔一加K2， Beta 2 加 K3 Beta 3 等于 0 向量，那我需要说明 K1 K2， K3 全为0。

那要说明K1、K2， K3 全为0，我们能用到的这个条件是什么呢？条件是阿尔法 123 是线性无关的，所以我们将贝塔和阿尔法的关系带入，然后转化为阿尔法 123 的线性组合，再来看能否得到K1，K2， K3 等于0。所以我们将贝塔 i 和 Alpha i 的关系带入，我们就得到 K1 Alpha 1 加 Alpha 2， K2 阿尔法 2 加阿尔法3， K3 阿尔法 1 加阿尔法 3 = 0，然后进行整理，我们看到阿尔法 1 前面的系数就是 K1 加 K3 阿尔法 2 前面的系数K2， K1 加 K2 再加 K1 加 K2 加 K3 阿尔法3。

好了，有条件向量组，阿尔法 1 阿尔法 2 阿尔法 3 线性无关，所以我们得到这个组合的系数全为0，于是我们得到 K1 加K3，等于0， K1 加 K2 等于0， K2 加 K3 等于0。很容易求解，这样一个线性方形组，把它们全加起来，得到 2 倍的 K1 加 K2 加 K3 等于零，于是 K1 加 K2 加 K3 等于零，所以我们得到， K1 等于 K2 等于 K3 等于，于是我们得到什么呢？我们设这样的贝塔 123 的线性组合为0，我们得到了组合系数必然全为0。

那么根据定义， Beta 1、 Beta 2、 Beta 3 这个线性组必然线性无关，所以销量组贝塔一，贝塔二，贝塔三必然是，线性无关。那么这个我们是由定义，根据其次方程组的解，我们判断。好了。当然我们也可以根据矩阵的质，我们来判断一个向量组是否线性相关。有条件贝塔 1 等于阿尔法 1 加阿尔法2，所以我们可以这样子来写。根据分块矩阵的乘法，我们可以这样子来写，那么贝塔 1 就等于阿尔法1，阿尔法2，阿尔法 3 乘以对应的系数 11 零， Beta 2 就等于零一1，贝塔 3 就等于 Alpha 1 Alpha 2、 Alpha 3 对应乘系数101。好了，那么我令贝塔1、贝塔2、贝塔 3 组成的矩阵记为b。阿尔法1、阿尔法2、阿尔法 3 组成的巨阵我们记为a，这里的矩阵我们记为c，于是我们就得到 b 就等于 a C。那我要判断 b 的列向量是线性无关，我只需要说明 b 的质就等于它所含的，列向量的个数。那么我们来看一下，由 c 矩阵的定义，很容易会发现 c 的行列式是什么非 0 的，因此 c 是一个可逆矩阵，那么由 b 等于 a C，我们知道给一个矩阵乘以一个可逆矩阵，不会改变这个矩阵的矩，所以 b 的矩就等于矩阵 a 的质，而 a 由 a 的矩阵的定义。

我们 a 矩阵恰好是向量组阿尔法 123 所构成，因为有条件 Alpha 1，F2， Alpha 3 线性无关，所以由它们为列构成的矩阵的质就等于所含向量的个数，所以它就等于3。那么我们得到 b 的质就等于3，于是 b 矩阵的质就等于它所含列向量的个数，于是得到 Beta 1， Beta 2， Beta 3。是线性主管，行行好了。